Der Anteil der zufriedenen Abonnenten von derzeit 60 % soll gesteigert
werden. Dazu wird ein Algorithmus entwickelt, der jedem Abonnenten täglich
individuell einen Spielfilm vorschlägt. Als Basis für die Entscheidung über
den dauerhaften Einsatz des Algorithmus plant das Management einen
Probebetrieb. Im Anschluss soll die Nullhypothese „Der Anteil der
zufriedenen Abonnenten beträgt höchstens 60 %.“ mithilfe einer Stichprobe
von 200 zufällig ausgewählten Abonnenten auf einem Signifikanzniveau von
5 % getestet werden.
Geben Sie an, welche Überlegung des Managements zur Wahl dieser
Nullhypothese geführt haben könnte. Für den beschriebenen Test ergibt sich
als Ablehnungsbereich der Nullhypothese.
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- Überlege, was in diesem Fall der Fehler 1. Art ist
- Was ist das Ziel des Managements?
Der Fehler 1. Art beschreibt den Fall, dass die Nullhypothese zwar stimmt aber zu Unrecht verworfen wird.
In diesem Fall würde das also bedeuten, dass der Einsatz des Algorithmus den Anteil der zufriedenen Abonnenten nicht erhöht hat, es wird aber fälschlicherweise davon ausgegangen, er habe sich erhöht.
Meistens achtet man darauf, den Fehler 1. Art eine geringere Wahrscheinlichkeit hat, aufzutreten. Hier soll diese Wahrscheinlichkeit zum Beispiel höchstens betragen.
Das Management will also verhindern, dass der Algorithmus zu Unrecht als positive Änderung wahrgenommen wird.
Zur Bestimmung der unteren Grenze dieses Ablehnungsbereichs wurden
zunächst folgende Lösungsschritte ausgeführt:
- Y: Anzahl der zufriedenen Abonnenten in der Stichprobe
Begründen Sie, dass die beiden Lösungsschritte zur Bestimmung der
unteren Grenze nicht ausreichend sind, und ergänzen Sie diese
geeignet.
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Da es möglich ist, dass auch für kleinere Werte für , also zum Beispiel , die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art noch unterhalb des Signifikanzniveaus liegt, muss man dies überprüfen:
Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art für einen größeren Ablehnungsbereich liegt nicht mehr unterhalb des Signifikanzniveaus, also liegt die untere Grenze des Ablehnungsbereichs bei .
Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter
Art bei diesem Ablehnungsbereich der Nullhypothese mehr als
betragen könnte.
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- Überlege, was der Fehler 2. Art in diesem Fall konkret bedeutet
- Überlege, bei welcher Veränderung der Trefferwahrscheinlichkeit der Fehler zweiter Art wahrscheinlich ist
- Triff eine logische Annahme für den neuen Wert der Trefferwahrscheinlichkeit
- Berechne die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art
Der Fehler 2. Art tritt dann auf, wenn die Nullhypothese zu Unrecht angenommen wird.
In diesem Fall bedeutet das also, dass der Anteil zufriedener Abonnenten gestiegen ist, man geht aber fälschlicherweise davon aus, er sei gleich geblieben.
Wir wissen nicht, um wie viel Prozent der Anteil der zufriedenen Abonnenten gestiegen ist. Wir wissen nur, dass er gestiegen sein muss, damit die Nullhypothese falsch ist und der Fehler 2. Art auftreten kann.
Gehen wir nun davon aus, dass der Anteil nur leicht gestiegen ist, zum Beispiel auf . Mithilfe dieser Annahme kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen:
In diesem Fall läge die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art also bei ca. , und damit bei mehr als .