Unter den Abonnenten sind 70 % höchstens 40 Jahre alt. Von diesen haben
80 % das Komplettpaket gewählt. Unter denjenigen Abonnenten, die älter als
40 Jahre sind, haben sich 50 % für das Komplettpaket entschieden.
Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.
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Zuerst überlegt man sich, wie man die beiden Ergebnisse nennen möchte. Eine Möglichkeit dafür ist:
- "ein Abonnent ist höchstens 40 Jahre alt":
- "ein Abonnent ist älter als 40 Jahre":
- "ein Abonnent hat das Komplettpaket gewählt":
- "ein Abonnent hat nicht das Komplettpaket gewählt":
Als nächstes trägt man die gegebenen Werte an das Baumdiagramm an:
Dann berechnet man die restlichen Wahrscheinlichkeiten:
Eine unter allen Abonnenten zufällig ausgewählte Person hat sich für das
Komplettpaket entschieden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass sie höchstens 40 Jahre alt ist.
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- Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich ein zufällig ausgewählter Abonnent für das Komplettpaket entschieden hat
- Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit
Bekannt ist, dass die Person sich für ein Komplettpaket entschieden hat (). Wir suchen nach der Wahrscheinlichkeit, dass diese Person höchstens Jahre alt ist, also unter der Bedingung : .
Die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet man, indem man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Abonnent höchstens Jahre alt ist und sich für das Komplettpaket entschieden hat () durch die Wahrscheinlichkeit dividiert, dass ein zufällig ausgewählter Abonnent sich für das Komplettpaket entschieden hat:
Um zu berechnen, addiert man einfach und :
Das kann man jetzt in die vorherige Formel einsetzen:
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Abonnent, der sich für das Komplettpaket entschieden hat, höchstens Jahre alt ist, beträgt also ca. .
Bestimmen Sie die Anzahl der Abonnenten, die man mindestens zufällig
auswählen müsste, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von
mindestens 99 % mindestens eine Person älter als 40 Jahre ist.
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- Beachte, dass es sich um eine Dreimal-Mindestens-Aufgabe handelt
- Berechne die gesuchte Anzahl durch geschicktes Umstellen. Achte dabei auf das Ungleichheitszeichen
- Formuliere einen Antwortsatz
Formuliere um in die Gegenwahrscheinlichkeit
Vereinfache
Umformung: - \, 0,99
Umformung: + \, 0,7^n
Umformung: \ln
Man kann das vor den ziehen, da hier die Logarithmusregeln gelten
Umformung: : \,\ln \, (0,7)
Hier muss man das Ungleichheitszeichen umdrehen, da durch eine negative Zahl dividiert wird
Berechne und runde
Es müssen mindestens Abonnenten zufällig ausgewählt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens eine Person unter ihnen ist, die älter als Jahre alt ist.