In den letzten Jahren hat der Onlinehandel stark zugenommen. Dies zeigt
sich auch in den Versandzentren der Paketdienstleister. Im Folgenden
werden nur die im Zusammenhang mit dem Onlinehandel verschickten
Pakete in einem dieser Versandzentren betrachtet. Ein Fünftel dieser
Pakete sind Retouren, d. h. Pakete, die zurückgeschickte Waren enthalten.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter zufällig
ausgewählten Paketen mehr als ein Viertel Retouren sind.
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- Lies die gegebenen Werte aus der Aufgabenstellung aus
- Setze sie in die richtige Formel ein und berechne die Wahrscheinlichkeit
Aus der Aufgabenstellung kann man folgende Werte auslesen:
- , da Pakete ausgewählt werden
- , da und man die Wahrscheinlichkeit berechnen muss, dass mehr als ein Viertel Retouren sind
- ; da die Wahrscheinlichkeit, dass ein Paket eine Retoure ist, beträgt
Es handelt sich hier um eine kumulative Binomialverteilung, da man die Wahrscheinlichkeiten aller Fälle addieren muss, bei denen zwischen und liegt. Man setzt also alle bekannten Werte in die Formel ein:
Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als ein Viertel der Pakete Retouren sind, beträgt also ca. .
Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem
die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term
berechnet werden kann, und geben Sie dieses Ereignis an.
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- Überlege, welche Informationen du aus dem Term herauslesen kannst
- Erkläre, was der Term im Sachzusammenhang beschreibt
- Berechne das Ergebnis des Terms
Erklärung des Terms im Sachzusammenhang
Folgendes kann man aus dem Term herauslesen:
- : der Term beschreibt das Gegenteil der Wahrscheinlichkeit, die der Rest des Terms beschreibt
- : der Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen 0 und 8 Treffer gemacht werden
- , insgesamt werden 30 Versuche gemacht
- ; die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt
Der Term beschreibt also die Wahrscheinlichkeit, dass man bei Versuchen mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von , mehr als Treffer macht.
Im Sachzusammenhang beschreibt der Term die Wahrscheinlichkeit, dass unter zufällig ausgewählten Paketen mehr als Retouren sind.
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Man berechnet zuerst die kumulative Binomialverteilung:
Dann zieht man das Ergebnis von ab:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter zufällig ausgewählten Paketen mehr als Retouren sind, beträgt ca. .
Ermitteln Sie, wie viele Pakete mindestens zufällig ausgewählt werden
müssen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass darunter mindestens
eine Retoure ist, größer als ist.
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- Beachte, dass es sich um eine Dreimal-Mindestens-Aufgabe handelt
- Lies die Angaben aus der Aufgabe aus und berechne durch geschicktes Umstellen
- Achte auf das Ungleichheitszeichen
- Formuliere einen Antwortsatz
Zuerst setzt man die Angaben aus der Aufgabe in eine Formel um:
Formuliere um in die Gegenwahrscheinlichkeit
Vereinfache
Umformung: - \, 0,9
Umformung: + \, 0,8^n
Umformung: \ln
Man kann das vor den ziehen, da hier die Logarithmusregeln gelten: Rechnen mit Logarithmus
Umformung: : \,ln \, (0,8)
Hier muss man das Ungleichheitszeichen umdrehen, da durch eine negative Zahl dividiert wird
Berechne und runde
Es müssen mindestens Pakete ausgewählt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von eine Retoure darunter ist.
der Pakete enthalten Kleidung. Von den Paketen, bei denen es sich um Retouren handelt, enthalten Kleidung. Es wird ein Paket zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:
R: „Bei dem Paket handelt es sich um eine Retoure.“
K: „Das Paket enthält Kleidung.“
Stellen Sie den beschriebenen Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar. Bestimmen Sie für den Fall, dass das ausgewählte Paket keine Retoure ist, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Paket Kleidung enthält.
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- Trage die bekannten Werte in eine Vierfeldertafel ein
- Berechne die restlichen Werte
- Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Übertragen der Angaben aus der Aufgabe
Aus der Aufgabenstellung kann man mehrere Angaben herauslesen. Diese trägt man nun in eine Vierfeldertafel ein:
Dabei ist
.
Jetzt kann man die restlichen Werte berechnen:
Bestimmen der Wahrscheinlichkeit, dass ein Paket, das keine Retoure ist, Kleidung enthält
Gesucht ist hier .
Die Wahrscheinlichkeit beträgt .
Aus einer Transportkiste mit Paketen, unter denen sechs Retouren sind,
werden nacheinander zehn Pakete zufällig entnommen und an eine Prüfstelle weitergeleitet.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ersten beiden
Pakete Retouren sind.
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Für das erste Paket beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Retoure handelt, . Für das zweite Paket beträgt die Wahrscheinlichkeit nur noch , da man das erste Paket, das eine Retoure ist, abziehen muss. Multipliziert man diese beiden Werte erhält man die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den zehn ausgewählten Paketen die ersten beiden Pakete Retouren sind, beträgt also .
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei oder drei
Retouren entnommen werden, (siehe Teilaufgabe e).
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- Lies die Angaben aus der Aufgabenstellung
- Überlege, welches Modell hier angewandt werden kann
- Berechne die Wahrscheinlichkeit und formuliere einen Antwortsatz
Folgende Aussagen und Schlussfolgerungen kann man aus der Aufgabe entnehmen bzw. herleiten:
- Hier muss man zwei Wahrscheinlichkeiten addieren: die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den zehn Paketen genau zwei Retouren sind und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den zehn Paketen genau drei Retouren sind.
- Insgesamt werden zehn Pakete untersucht, das heißt, acht bzw. sieben von ihnen sind keine Retouren.
- Die zehn Pakete werden aus 25 Paketen ausgewählt, von denen sechs Retouren sind, das heißt 19 sind keine Retouren.
- Die Reihenfolge ist hier nicht wichtig und es wird nicht zurückgelegt, das heißt, man muss die Hypergeometrische Verteilung verwenden, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
Die Formel beschreibt die Sachlage wie folgt:
Der ist die Anzahl an Retouren (zwei oder drei) unter den zehn Paketen von den ursprünglich insgesamt sechs Retouren.
Der ist die Anzahl an Nicht-Retouren (sieben oder acht) unter den zehn Paketen von den ursprünglich insgesamt 19 Nicht-Retouren.
Der ist die Auswahl der zehn Pakete von den ursprünglichen 25.
Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei oder drei der Pakete Retouren sind, beträgt ca. .