Wird eine Funktion transformiert, dann wird sie in eine neue Funktion umgewandelt.
Mögliche Transformationen sind:
- Verschieben
- Strecken und Stauchen
- Spiegeln
- Kombinationen von Transformationen
Übersicht
Transformation | Ergebnis: Der Graph geht aus dem Graphen hervor, durch | Beispiel |
|---|---|---|
Verschiebung um -Einheiten in y-Richtung nach oben, für . Verschiebung um -Einheiten in y-Richtung nach unten, für . |  | |
Verschiebung um -Einheiten in x-Richtung nach links, für . Verschiebung um -Einheiten in x-Richtung nach rechts, für . |  | |
Skalierung in y-Richtung: Streckung für Stauchung für |  | |
Skalierung in x-Richtung: Streckung mit Faktor , für Stauchung mit Faktor , für |  | |
Spiegelung an der x-Achse |  | |
Spiegelung an der y-Achse |  | |
Spiegelung am Koordinatenursprung |  |
Im folgenden Applet kann man sich die Wirkung von fünf verschiedenen Transformationen auf die Funktion ansehen. Verschiebe dazu die entsprechenden Schieberegler. Beim Klick auf das Kästchen wird die Funktion an der x-Achse gespiegelt.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Kombinationen von Transformationen
Es können mehrere Transformationen nacheinander ausgeführt werden. Zu beachten ist dabei die Reihenfolge der durchgeführten Transformationen. Bei einigen Transformationen entsteht ein anderer Funktionsterm, wenn die Reihenfolge vertauscht wird.
Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse bei Vertauschung der Reihenfolge.
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----------- | Reihen-folge egal | Reihen-folge beachten | Reihen-folge egal | Reihen-folge beachten | Reihen-folge egal | Reihen-folge beachten | |
Reihen-folge egal | ----------- | Reihen-folge egal | Reihen-folge beachten | Reihen-folge egal | Reihen-folge beachten | Reihen-folge beachten | |
Reihen-folge beachten | Reihen-folge egal | ---------- | Reihen-folge egal | Reihen-folge egal | Reihen-folge egal | Reihen-folge egal | |
Reihen-folge egal | Reihen-folge beachten | Reihen-folge egal | ---------- | Reihen-folge egal | Reihen-folge egal | Reihen-folge egal | |
Reihen-folge beachten | Reihen-folge egal | Reihen-folge egal | Reihen-folge egal | ---------- | Reihen-folge egal | Reihen-folge egal | |
Reihen-folge egal | Reihen-folge beachten | Reihen-folge egal | Reihen-folge egal | Reihen-folge egal | ---------- | Reihen-folge egal | |
Reihen-folge beachten | Reihen-folge beachten | Reihen-folge egal | Reihen-folge egal | Reihen-folge egal | Reihen-folge egal | ----------- |
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Führt man z.B. drei oder mehr Transformationen hintereinander aus, dann kann anhand der Tabelle geprüft werden, ob die Reihenfolge egal ist oder ob die Reihenfolge beachtet werden muss.
Beispiel 1:
Es werden die folgenden drei Transformationen durchgeführt:
Prüfe anhand der Tabelle:
mit Reihenfolge egal
mit Reihenfolge egal
mit Reihenfolge egal
In diesem Fall spielt also die Reihenfolge der Transformationen keine Rolle.
Beispiel 2:
Es werden die folgenden drei Transformationen durchgeführt:
Prüfe anhand der Tabelle:
mit Reihenfolge egal
mit Reihenfolge beachten
mit Reihenfolge egal
In diesem Fall spielt also die Reihenfolge der Transformationen eine Rolle.
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Gegeben ist die Funktion .
a) Führe nacheinander die folgenden Transformationen durch:
- Verschiebung um -Einheiten in y-Richtung nach oben
- Verschiebung um -Einheiten in x-Richtung nach links
- Spiegelung an der x-Achse
b) Ändert sich der Funktionsterm, wenn die Reihenfolge der Transformationen geändert wird?
Lösung zu a)
Lösung zu b)
Wähle eine andere Reihenfolge für die Durchführung der Transformationen.
Die Reihenfolge ist nun z.B. folgende:
- Spiegelung an der x-Achse
- Verschiebung um -Einheiten in y-Richtung nach oben
- Verschiebung um -Einheiten in x-Richtung nach links
Vergleich man die beiden Abbildungen, dann sind die Graphen unterschiedlich.
Man hat im 2. Fall einen anderen Funktionsterm erhalten.
Demnach ist die Reihenfolge nicht vertauschbar.