Der Marktanteil eines elektrischen Haushaltsgerätes soll ermittelt werden. Von zufällig ausgewählten Haushalten besitzen dieses Gerät.
Bestimme mit exakter Rechnung ein -Konfidenzintervall für .
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- Berechne .
- Für ein Konfidenzintervall ist .
- Löse die Ungleichung .
Gegeben ist und .
Für ein -Konfidenzintervall ist .
Dann erhält man die folgende Ungleichung:
Umformung: ()^2
Löse die Wurzel auf.
Kürze.
Berechne das Quadrat.
Umformung: \cdot150
Umformung: -p+p^2
Die quadratische Gleichung löst man mit der Mitternachtsformel:
Setze und ein.
Man erhält die beiden Lösungen und und damit das Konfidenzintervall .
Verwende die Näherungslösung zur Berechnung des Konfidenzintervalls und vergleiche mit dem Ergebnis aus Aufgabe a).
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- Bei der Näherung wird unter der Wurzel durch ersetzt.
- Löse dann die Ungleichung .
Bei der Näherung wird unter der Wurzel durch ersetzt.
und
Das mit der Näherung berechnete Konfidenzintervall lautet .
Im Vergleich dazu das Ergebnis der "exakten" Rechnung .
Es besteht kein sehr großer Unterschied.
Bei der Befragung (Sicherheitswahrscheinlichkeit ) über die Ausstattung von Haushalten mit einem bestimmten elektrischen Haushaltsgerät will man die Ergebnisse auf -Punkte genau haben.
Welcher Stichprobenumfang ist erforderlich?
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- Es ist gefordert:
- Anderseits gilt bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von :
- Aus den beiden Ungleichungen ergibt sich eine Ungleichung für , die gelöst werden muss.
Es ist gefordert:
Anderseits ist
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
Kürze.
Setze ein.
Umformung: \cdot n
Umformung: \cdot10^4
Es ist ein Stichprobenumfang von mindestens Haushalten erforderlich.