Prüfe rechnerisch, ob die drei Vektoren komplanar sind.
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Sind die Vektoren linear unabhängig, so kann man zum Beispiel den Vektor eindeutig durch und darstellen:
Daraus entsteht ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten:
Die erste und die dritte Gleichung liefern unterschiedliche Lösungen für . Dadurch hat das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung.
Die Vektoren sind also linear unabhängig und nicht komplanar.
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Sind die Vektoren linear unabhängig, so kann man zum Beispiel den Vektor eindeutig durch und darstellen:
Daraus entsteht ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten:
Forme die erste Gleichung um:
Setze in II ein:
Und die erste Gleichung liefert
Da es sich um ein überbestimmtes System handelt, musst du zur Probe noch in die III. Gleichung einsetzen:
Die Gleichung III liefert eine wahre Aussage. Somit hat das System eine eindeutige Lösung und die drei Vektoren sind linear abhängig und somit komplanar.
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Da die Vektoren und parallel sind, kann man nicht wie bei den letzten Aufgaben untersuchen.
Alternativ prüfst du
Daraus entsteht erneut ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten:
Forme z.B. die erste Gleichung um:
Setze in die II. Gleichung ein:
Setze das Ergebnis in Gleichung I ein:
Setze in Gleichung III ein:
Das System hat also eine eindeutige Lösung und somit sind die drei Vektoren komplanar.