Die Trefferwahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis ist unbekannt. Um einen Schätzwert für zu bekommen, wird aus der zugrunde liegenden Gesamtheit eine Stichprobe vom Umfang gezogen und die relative Trefferwahrscheinlichkeit bestimmt. ist ein Schätzwert für .
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Bestimmung des Konfidenzintervalls auf graphischem Weg mithilfe eines Ellipsendiagramms (Konfidenzellipse)
Mit einer Sicherheit von soll die unbekannte Wahrscheinlichkeit für die Merkmalsausprägung abgeschätzt werden. Für gilt .
(Eine Tabelle mit den Werten von befindet sich im Artikel Prognoseintervalle.)
Gesucht ist also das folgende -Intervall:
Teilt man die Ungleichungskette durch , so rechnet man mit relativen Häufigkeiten und man erhält:
Man zeichnet ein Ellipsendiagramm (hier für ):
Der Graph gehört zur Funktion .
Der Graph gehört zur Funktion .
Für das Musterbeispiel ist .
Die waagerechte Gerade ist die zur relativen Häufigkeit gehörige Gerade.
Schneidet man die Ellipse mit dieser Geraden, so erhält man die Intervallgrenzen für das Konfidenzintervall im Musterbeispiel.
Das Konfidenzintervall ist hier:
Schluss von der Stichprobe auf die Gesamtheit
Der wahre Wert für die Wahrscheinlichkeit (z. B. Fehlerwahrscheinlichkeit einer Maschine) ist unbekannt.
Die Wahrscheinlichkeit soll durch den prozentualen Anteil in einer Stichprobe der Größe abgeschätzt werden.
Aus der Stichprobe wird der Wert des prozentualen Anteils bestimmt. Dieser Wert ist ein erster Schätzwert für die unbekannte Wahrscheinlichkeit .
Zur Eingrenzung des wahren Wertes für bildet man ein Intervall um herum (dessen Mitte ist), welches enthalten soll.
Abhängig von der gewünschten Sicherheitswahrscheinlichkeit (Vertrauensniveau), mit der das Intervall überdecken soll, wird die Intervallgröße berechnet.
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In einer Stichprobe mit , trat eine bestimmte Merkmalsausprägung -mal auf.
Bestimme ein -Konfidenzintervall für den Anteil in der Gesamtheit.
Lösung
Mit einer Sicherheit von soll die unbekannte Wahrscheinlichkeit für die Merkmalsausprägung abgeschätzt werden.
Für gilt . ( entnimmt man aus der Tabelle im Artikel Prognoseintervalle.)
Damit erhält man:
Setze ein.
Vereinfache.
Setze und ein.
Umformung: ()^2
Umformung: \cdot 400
Umformung: -3,8416p+3,8416p^2
Die quadratische Gleichung wird mit der Mitternachtsformel gelöst.
Setze und ein.
Vereinfache.
Damit erhält man die Intervallgrenzen:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von liegt im Intervall .
Näherungsverfahren zur Bestimmung von Konfidenzintervallen
Das Rechenverfahren zur Bestimmung von Konfidenzintervallen ist recht aufwendig.
Deshalb wird ein Näherungsverfahren eingesetzt.
Für kann unter der Wurzel durch ersetzt werden.
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Die Werte von unterscheiden sich im Intervall nur wenig voneinander.
Mit den Zahlen aus dem Musterbeispiel und folgt dann:
Bei exakter Rechnung liegt im Intervall , bei der Näherungslösung liegt im Intervall , also nur geringfügig anders.
Wahl eines genügend großen Stichprobenumfangs
Der Anteil in der Stichprobe soll sich vom Anteil in der Gesamtheit um höchsten den Wert unterscheiden. Wie groß muss die Stichprobe sein?
Was wir haben wollen, ist .
Wir wissen
Wenn also
ist, muss auch die gesuchte Ungleichung gelten.
Die Ungleichung wird nach aufgelöst (siehe Musterbeispiel).
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Die Gewinnwahrscheinlichkeit für einen Automaten beträgt .
Wie viele Spiele müssen durchgeführt werden, wenn mit Sicherheitswahrscheinlichkeit die relative Gewinnhäufigkeit von der theoretischen Gewinnwahrscheinlichkeit () um höchstens Prozentpunkt abweicht?
Lösung
Zu einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von gehört .
Mit und folgt dann:
Umformung: ()^2
Löse nach auf.
Kürze mit und fasse zusammen.
Umformung: \cdot n
Umformung: \cdot10^{4}
Es sind mindestens Spiele notwendig.
Anmerkung: Mit den Werten und ist auch die Laplace-Bedingung erfüllt.
Näherungslösung für die Wahl eines genügend großen Stichprobenumfangs
Für das Konfidenzintervall gilt:
Für die Länge des Konfidenzintervalls gilt:
Das Produkt wird für am größten.
Dann gilt:
Diese Länge soll höchstens gleich sein, d. h. die Länge des Konfidenzintervalls ist dann gleich .
Für das Musterbeispiel "Wahl eines genügend großen Stichprobenumfangs" ergibt sich dann folgende Näherung:
Es ist und .
Setze und ein.
Bei der genauen Rechnung im Musterbeispiel "Wahl eines genügend großen Stichprobenumfangs" erhielt man . Im Vergleich dazu die mit geringerem Rechenaufwand ermittelte Näherungslösung .
Eingebetteter Serlo-Inhalt
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