Eine Architektin plant den Bau eines einstöckigen Hauses. Dazu stellt sie das Haus modellhaft in einem kartesischen Koordinatensystem des dar. Im Modell wird das Haus aus einem Quader und einem dreiseitigen, geraden Prisma zusammengesetzt. Gegeben sind die Punkte , , und . Die Koordinaten der Punkte sind Längenangaben in der Einheit Meter. Die Deckenhöhe im Erdgeschoss beträgt .
Bei den Rechnungen kann auf das Mitführen der Einheiten verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll.
Zeigen Sie, dass der Punkt die Koordinaten besitzt. Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Grundfläche des geplanten Hauses im Punkt rechtwinklig ist. [4 BE]
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Teil 1
- Berechne .
Teil 2
- Berechne und .
- Bei einem rechten Winkel zwischen den beiden Vektoren muss gelten: .
Zeige, dass der Punkt die Koordinaten besitzt
Überprüfe rechnerisch, ob die Grundfläche des geplanten Hauses im Punkt rechtwinklig ist
Berechne und :
Bei einem rechten Winkel zwischen den beiden Vektoren muss gelten:
Die Grundfläche des geplanten Hauses ist im Punkt rechtwinklig.
Eine Grundstücksgrenze des Baugrundstückes verläuft entlang der Geraden
mit .
Die Punkte und liegen auf der Geraden . Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden und . [3 BE]
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- Ermittle die Geradengleichung durch die Punkte und .
- Vergleiche die Richtungsvektoren von und .
Untersuche die gegenseitige Lage der Geraden und
Gegeben und
Ermittle die Geradengleichung durch die Punkte und :
Vergleiche die Richtungsvektoren von und , d.h. und .
Es gilt:
Die beiden Vektoren sind Vielfache voneinander, d.h. kollinear.
Die beiden Geraden sind identisch oder parallel.
Prüfe: ?
Aus Gleichung folgt und aus Gleichung folgt .
Es ergibt sich ein Widerspruch, d.h. .
Die beiden Geraden sind echt parallel.
Ermitteln Sie die Maßzahl des Gesamtvolumens des Hauses. [4 BE]
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- Das Haus besteht aus einem Quader und einem Prisma.
- Die Deckenhöhe im Erdgeschoss beträgt .
- Berechne .
- Berechne .
- ist ein Dreieck mit der Grundseite und der Höhe =z-Koordinate von minus der Deckenhöhe.
- Addiere die beiden Volumen.
Ermittle die Maßzahl des Gesamtvolumens des Hauses
Das Haus besteht aus einem Quader und einem Prisma.
Die Deckenhöhe im Erdgeschoss beträgt .
Die Grundseite ist das Dreieck . Wegen der Deckenhöhe und der -Koordinate von , beträgt die Dreieckshöhe .
Die Prismahöhe ist .
Dann folgt für das Prismavolumen:
Die Maßzahl des Gesamtvolumens des Hauses beträgt .
Für den Dachneigungswinkel (siehe Aufgabe Aufgabenstellung) gilt gemäß der örtlichen Bauvorschrift . Zeigen Sie, dass der Dachneigungswinkel die Bauvorschrift erfüllt. [3 BE]
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- Berechne .
- Vergleiche mit der Vorgabe .
Zeige, dass der Dachneigungswinkel die Bauvorschrift erfüllt
Es ist und .
Weiterhin ist und .
Die Vorgabe war . Damit ist die Bauvorschrift erfüllt.
Im Dachgeschoss soll eine Zwischendecke eingezogen werden, die parallel zur Grundfläche und einen Meter tiefer als der First ist. Diese Zwischendecke liegt in der Ebene . Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebene mit der durch gegebenen Ebene. [5 BE]
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- Bekannt: und die Ebene liegt parallel zur Grundfläche einen Meter tiefer als der First
- Berechne .
- Setze in ein.
- Setze in einGleichung der Schnittgeraden .
Bestimme eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebene mit der durch gegebenen Ebene
Bekannt: und die Ebene liegt parallel zur Grundfläche einen Meter tiefer als der First
.
Setze in ein:
Setze in ein:
Die Schnittgerade hat dann die Gleichung:
Die Gleichung der Schnittgeraden der Ebene mit der durch gegebenen Ebene lautet .
Zur Bewässerung des Gartens soll Regenwasser, das auf das Hausdach trifft, in einer Zisterne gesammelt werden. Gemäß statistischer Daten der letzten Jahrzehnte ist die durchschnittliche gesamte Niederschlagsmenge im sonnenreichen Juli . Zur Bewässerung des großen Gartens sind zusätzlich täglich notwendig. Entscheiden Sie mithilfe einer Rechnung, ob die Bewässerung im Monat Juli gemäß der statistischen Daten durchgeführt werden kann. Vereinfachend wird von störenden Einflüssen wie etwa Wind abgesehen und angenommen, dass der Regen parallel zur -Achse fällt. [4 BE]
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- Berechne die benötigte Wassermenge im Juli ( Tage).
- Berechne die gesammelte Wassermenge.
- Vergleiche!
Entscheide mithilfe einer Rechnung, ob die Bewässerung im Monat Juli gemäß der statistischen Daten durchgeführt werden kann
Die benötigte Wassermenge im Juli ( Tage) beträgt:
Nach Aufgabe c) gilt für die Grundfläche des Hauses:
.
Da , reicht die gesammelte Wassermenge.