Eine Kette ist an ihren Enden an zwei Punkten aufgehängt. Die beiden Aufhängepunkte haben einen waagrechten Abstand von und sind auf gleicher Höhe angebracht. Der Verlauf der Kette wird modellhaft in einem kartesischen Koordinatensystem durch den Graphen (siehe Abbildung) der Funktion beschrieben. Die Funktion ist dabei gegeben durch die Gleichung mit . Die Koordinaten der Punkte sind Längenangaben in der Einheit Zentimeter. Auf die Mitführung der Einheiten kann verzichtet werden.
Ermitteln Sie die Koordinaten des tiefsten Punktes der Kette und führen Sie den rechnerischen Nachweis, dass es sich dabei um einen lokalen Tiefpunkt handelt.
Mögliches Teilergebnis:
(6 BE)
Lösung anzeigen
- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Bilde mithilfe der Kettenregel die 1. Ableitung und löse die Gleichung .
- Erstelle eine Monotonietabelle, um den Extrempunkt zu ermitteln. Alternativ kann der Nachweis des Tiefpunktes auch mithilfe der 2. Ableitung erfolgen.
Ermittle die Koordinaten des tiefsten Punktes der Kette
Gegeben:
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Bilde mithilfe der Kettenregel die 1. Ableitung:
Löse die Gleichung :
Umformung: +e^{-0,25x+1,25}
Umformung: \ln
Umformung: +1,25+0,25x
Umformung: :0,5
Berechne
Führe den rechnerischen Nachweis, dass es sich dabei um einen lokalen Tiefpunkt handelt
Es ist .
Nachweis, dass ein lokaler Tiefpunkt ist:
Erstelle z.B. eine Monotonietabelle:
Berechne z.B. und
K'(x) | |||
Die Koordinaten des tiefsten Punktes der Kette sind .
Anmerkung: Der Nachweis des Tiefpunktes kann auch mithilfe der 2. Ableitung erfolgen.
Der Kettenverlauf kann durch eine Parabel angenähert werden, die durch den Punkt und ihren Scheitelpunkt verläuft. Ermitteln Sie die Gleichung der zugehörigen quadratischen Funktion . (3 BE)
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- Gegeben: Punkt und der Scheitelpunkt .
- Benutze die Scheitelpunktform mit .
- Setze die Koordinaten des Punktes ein.
Ermittle die Gleichung der zugehörigen quadratischen Funktion
Gegeben: Punkt und der Scheitelpunkt .
Benutze die Scheitelpunktform mit :
Setze die Koordinaten des Punktes ein:
Die Gleichung der zugehörigen quadratischen Funktion ist oder ausmultipliziert .
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Ansatz:
Bekannt sind: und
Du erhältst das folgende Gleichungssystem:
Setze in ein:
Die Parabel verläuft für stets oberhalb des Graphen . In diesem Bereich wird der Abstand der senkrecht übereinander liegenden Punkte und betrachtet. Die Abbildung zeigt einen nicht maßstabsgerechten, vergrößerten Ausschnitt von und . Der größte dieser Abstände ist ein Maß dafür, wie gut die Parabel den Graphen im Bereich annähert. Beschreiben Sie, wie dieser größte Abstand rechnerisch bestimmt werden kann.
Hinweis: Eine rechnerische Lösung soll nicht durchgeführt werden. (4 BE)
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- Es ist . Dabei ist und .
- Weiterhin ist .
- Berechne . Betrachte den Vorzeichenwechsel von an der Stelle .
Beschreibe, wie dieser größte Abstand rechnerisch bestimmt werden kann
Es ist .
Dabei ist und .
Weiterhin ist .
Berechne .
hat bei einen Vorzeichenwechsel von .
Anmerkung: Gibt es mehrere Werte für die Lösung der Gleichung , dann muss die Lösung genommen werden, die den größten Funktionswert hat.
An der Stelle ist der Abstand im Bereich zwischen und maximal.