Nach Öffnung einer Schleuse gibt für die Funktion mit die zeitliche Entwicklung des Wasserdurchflusses in einem Kanal an einer Messstelle an. Der Wasserdurchfluss ist das Volumen des Wassers in , das an dieser Stelle pro Sekunde vorbeifließt. Die Zeit wird ab Öffnung der Schleuse zum Zeitpunkt in Sekunden gemessen. Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen der Funktion .
Bei allen Rechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden. Runden Sie alle Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen.
Geben Sie den Wasserdurchfluss eine Sekunde nach Öffnung der Schleuse und für an. [2 BE]
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Teil 1
- Berechne .
Teil 2
- Berechne . Hinweis: Klammere aus.
Gib den Wasserdurchfluss eine Sekunde nach Öffnung der Schleuse und für an
Berechne .
Der Wasserdurchfluss eine Sekunde nach Öffnung der Schleuse beträgt rund .
Berechne .
Der Wasserdurchfluss für ist .
Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Wasserdurchfluss erstmals seit Beginn der Beobachtung den Wert von überschreitet. [4 BE]
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- Löse die Gleichung .
Berechne den Zeitpunkt, zu dem der Wasserdurchfluss erstmals seit Beginn der Beobachtung den Wert von überschreitet
Löse die Gleichung :
Umformung: \cdot (e^{2t}+10e^t+25)
Umformung: -e^{2t}
Umformung: -10e^t+60
Umformung: :50
Umformung: \ln
Der Zeitpunkt, zu dem der Wasserdurchfluss erstmals seit Beginn der Beobachtung den Wert von überschreitet, beträgt rund .
Zeigen Sie, dass die Funktion auch durch die Gleichung dargestellt werden kann. [1 BE]
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- Betrachte den Nenner der Funktion : .
- Hier kann eine binomische Formel angewendet werden.
Zeige, dass die Funktion auch durch die Gleichung dargestellt werden kann
Betrachte den Nenner der Funktion : .
Hier kann eine binomische Formel angewendet werden.
Damit kann die Funktion auch durch die Gleichung dargestellt werden.
Berechnen Sie die Koordinaten des Hochpunktes von und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang. Hinweis: Der Nachweis, dass ein Hochpunkt vorliegt, muss nicht erbracht werden.
Mögliches Teilergebnis: [7 BE]
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- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Bilde mithilfe der Quotientenregel die 1. Ableitung nach der Zeit und löse die Gleichung .
- Berechne den Funktionswert und gib die Koordinaten des Extremums auf zwei Nachkommastellen gerundet an.
Berechne die Koordinaten des Hochpunktes von und interpretiere diese im Sachzusammenhang
Es ist .
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Bilde mithilfe der Quotientenregel die 1. Ableitung nach der Zeit.
Löse die Gleichung :
Umformung: :e^t
Umformung: +50e^{t}
Umformung: :50
Umformung: \ln
Tausche die Seiten.
Der Funktionswert ist .
Nach rund wird der maximale Wasserdurchfluss von rund erreicht.