Das Dach eines Hauses liegt in einer Ebene . In einem kartesischen Koordinatensystem des ist die Ebene durch die drei Punkte , und festgelegt. Die Koordinaten der Punkte sind Längenangaben in der Einheit Meter.
Auf die Mitführung von Einheiten während der Rechnungen kann verzichtet werden.
Ermitteln Sie jeweils eine Gleichung der Ebene in Parameter- und Koordinatenform und beschreiben Sie deren besondere Lage im Koordinatensystem.
[ mögliches Teilergebnis: ] (6 BE)
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Teil 1
- Berechne .
- Wandle dann in die Koordinatenform um.
Teil 2
- Die -Komponente bei der Ebenengleichung tritt nicht auf.
- Was bedeutet das?
Ermittle jeweils eine Gleichung der Ebene in Parameter- und Koordinatenform
Die Gleichung der Ebene in Parameterform lautet:
Umwandlung in die Koordinatenform:
Berechne den Normalenvektor von :
Dann ist
Setze die Koordinaten des Punktes ein, um zu berechnen:
Die Ebenengleichung kann noch durch dividiert werden.
Die Gleichung der Ebene in Koordinatenform lautet dann:
Beschreibe deren besondere Lage im Koordinatensystem
Die Ebene ist echt parallel zur -Achse.
Die Größe des Neigungswinkels des Daches gegen die Horizontale muss gemäß einer örtlichen Bauvorschrift mindestens betragen. Zeigen Sie rechnerisch, dass die örtliche Bauvorschrift eingehalten wird. (3 BE)
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- Berechne
- Vergleiche mit .
Zeige rechnerisch, dass die örtliche Bauvorschrift eingehalten wird
Es ist der Normalenvektor der Ebene und .
ist der Normalenvektor der −Ebene und .
Der Neigungswinkel der Ebene zum Boden beträgt rund .
Die örtliche Bauvorschrift wird eingehalten.
Zur Überdachung der Terrasse , die in der -Koordinatenebene liegt, wird ein rechteckiges Glasdach , dessen Neigungswinkel verstellbar ist, aufgebaut. Das Glasdach liegt in der Ebene mit dem Parameter .
(3 BE)
Die Ebenen und sollen parallel zueinander liegen. Ermitteln Sie hieraus den Wert des zugehörigen Parameters .
[ Ergebnis: ]
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- Wenn , dann muss die -Komponente von gleich null sein
- Berechne und vergleiche mit .
Ermittle den Wert des zugehörigen Parameters
Gegeben sind und
Wenn , dann muss sein.
Dann ist .
Zusammengefasst folgt:
Vergleiche die Normalenvektoren von und :
Der Wert des zugehörigen Parameters ist .
Anmerkung: Die beiden Ebenen sind echt parallel zueinander, da ist.
Zeigen Sie, dass die Punkte und in der Ebene liegen.
(2 BE)
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- Setze die Koordinaten der Punkte in ein.
Zeige, dass die Punkte und in der Ebene liegen
Gegeben ist .
Setze die Koordinaten der Punkte in ein:
eingesetzt: .
eingesetzt: .
Beide Punkte liegen in der Ebene .
Für die folgenden Teilaufgaben gilt: und .
Das Glasdach ist festgelegt durch die Punkte , und . Aus statischen Gründen darf die Glasüberdachung nur um maximal der Länge von über den Punkt hinausragen. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes , wenn die maximal zulässige Länge vollständig ausgenutzt wird.
Hinweis: (3 BE)
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- Berechne .
Bestimme die Koordinaten des Punktes
Es gilt:
Die Koordinaten des Punktes sind .
Als Windschutz sollen die drei Seitenflächen , und verglast werden. Der umbaute Raum besitzt die Form eines geraden trapezförmigen Prismas. Geben Sie die Koordinaten des Punktes an. Berechnen Sie die Materialkosten für die drei Seitenflächen, wenn der Preis pro beträgt. (6 BE)
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Teil 1
- Der Punkt liegt senkrecht unterhalb vom Punkt in der -Ebene.
Teil 2
- Es gibt zwei trapezförmige Seitenflächen mit gleichem Flächeninhalt und eine rechteckige Seitenfläche.
- Berechne den gesamten Flächeninhalt und multipliziere ihn mit .
Gib die Koordinaten des Punktes an
Der Punkt liegt senkrecht unterhalb vom Punkt in der -Ebene.
Die Koordinaten des Punktes sind .
Berechne die Materialkosten für die drei Seitenflächen, wenn der Preis pro beträgt
Nach Aufgabe e) gilt: und .
Es gibt zwei trapezförmige Seitenflächen mit gleichem Flächeninhalt und eine rechteckige Seitenfläche.
Trapez:
Berechne die Beträge der verwendeten Vektoren:
Rechteck:
Berechne die Beträge der verwendeten Vektoren:
Die drei Seitenflächen haben einen Gesamtflächeninhalt von .
Die Kosten betragen dann:
Die Materialkosten für die drei Seitenflächen, wenn der Preis pro beträgt, belaufen sich auf .