In einer Kletterhalle für Kinder soll eine Wand mit Überhang gebaut werden, welche modellhaft in einem geeignet gewählten kartesischen Koordinatensystem des betrachtet wird. Der Boden der Kletterhalle liegt in der -Koordinatenebene. Die Ebene , die den Überhang bildet, ist durch die Punkte , und festgelegt. Zudem sind die Punkte , und gegeben. Die Koordinaten der Punkte sind Längenangaben in der Einheit Dezimeter.
Auf die Mitführung von Einheiten während der Rechnung kann verzichtet werden. Ergebnisse sind gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle zu runden.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene in Koordinatenform und beschreiben Sie die besondere Lage von im Koordinatensystem.
[Mögliches Ergebnis: : ] (5 BE)
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Bestimme eine Gleichung der Ebene in Koordinatenform
Berechne die Vektoren und
Dann ist der Normalenvektor der Ebene G:
Setze die Koordinaten des Punktes ein:
Eine Gleichung der Ebene in Koordinatenform ist .
Beschreibe die besondere Lage von im Koordinatensystem
Die Ebene verläuft parallel zur -Achse.
Berechnen Sie den Neigungswinkel der Ebene zum Boden.
(3 BE)
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Berechne .
Berechne den Neigungswinkel der Ebene zum Boden
Der Neigungswinkel der Ebene zum Boden beträgt rund .
Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts des dreieckigen Seitenteils
(3 BE)
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- Berechne .
Berechne die Maßzahl des Flächeninhalts des dreieckigen Seitenteils
und
Dann ist
Die Maßzahl des Flächeninhalts des dreieckigen Seitenteils beträgt rund .
Die Decke der Halle, an der eine Überwachungskamera angebracht werden soll, liegt in der Ebene . Um alle Bereiche der Kletterwand zu erfassen, muss die Kamera weit genug von der Rückwand entfernt sein. Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebene und der Ebene . Der Abstand dieser Schnittgeraden zur --Koordinatenebene entspricht dem Mindestabstand der Kamera von der Rückwand in Dezimeter. Geben Sie diesen Abstand an. (4 BE)
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Teil 1
- Gegeben sind und .
- liegt auf der Schnittgeraden . Setze in ein
- ist frei wählbar
Teil 2
- Betrachte die -Komponente von .
Bestimme eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebene und der Ebene
Es sind und .
liegt auch auf der Schnittgeraden . Setze in ein:
ist eine feste -Komponente von .
ist frei wählbar
mit .
Die Gleichung der Schnittgeraden der Ebene und der Ebene lautet .
Gib diesen Abstand an
Der Abstand dieser Schnittgeraden zur --Koordinatenebene ist (feste -Komponente von ).
Der Punkt ist der Schnittpunkt der beiden Diagonalen des Vierecks . Zur Stabilisierung wird innerhalb der Kletterwand ein Stahlträger am Punkt angebracht, der senkrecht zur Kletterfläche steht. Beschreiben Sie, wie der Montagepunkt des Stahlträgers an der Rückwand ermittelt werden kann, ohne die Rechnung durchzuführen.
(4 BE)
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- 1. Bestimme die Geradengleichungen durch bzw. .
- 2. ist der Schnittpunkt dieser beiden Geraden.
- 3. Aufstellung einer Geradengleichung durch . Der Richtungsvektor von ist der Normalenvektor der Ebene .
- 4. Die Rückwand liegt in der -Ebene. Schneide mit dieser Ebene.
Beschreibe, wie der Montagepunkt des Stahlträgers an der Rückwand ermittelt werden kann
1. Bestimme die Geradengleichungen durch bzw. .
2. ist der Schnittpunkt dieser beiden Geraden.
3. Aufstellung einer Geradengleichung durch . Der Richtungsvektor von ist der Normalenvektor der Ebene .
4. Die Rückwand liegt in der -Ebene. Schneide mit dieser Ebene und Du erhältst den Montagepunkt des Stahlträgers an der Rückwand.
Der Körper kann in drei Teilkörper zerlegt werden (siehe Skizze). Berechnen Sie die Maßzahl des Volumens der dreiseitigen Pyramide . (4 BE)
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- Berechne .
Berechne die Maßzahl des Volumens der dreiseitigen Pyramide
Ein Tetraeder ist eine Pyramide, die als Grundseite ein Dreieck hat.
,
Die Maßzahl des Volumens der dreiseitigen Pyramide beträgt .