Gegeben ist die Funktion mit ihrer maximalen Definitionsmenge Der Graph von wird mit bezeichnet.
Zeigen Sie, dass die Funktion die maximale Definitionsmenge besitzt. (3 BE)
Lösung anzeigen
- Die Funktion besteht aus 2 Teilen. Betrachte jeden Teil separat.
Zeige, dass die Funktion die maximale Definitionsmenge besitzt
Betrachte den ersten Term :
Hier muss sein
Für den zweiten Term gilt:
Beide Terme zusammen betrachtet ergeben die angegebene Definitionsmenge, d.h. für gilt .
Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion und die Art sowie die Koordinaten des einzigen Extrempunktes von . (7 BE)
[Mögliches Teilergebnis: ]
Lösung anzeigen
Teil 1
- Bilde die 1. Ableitung von und bringe auf den Hauptnenner.
Teil 2
- Erstelle z.B. eine Monotonietabelle oder berechne die 2. Ableitung.
Ermittle die maximalen Monotonieintervalle der Funktion
Bilde die 1. Ableitung von .
Bringe auf den Hauptnenner :
Ermittle die Art sowie die Koordinaten des einzigen Extrempunktes von
Für einen Extrempunkt gilt:
Erstelle z.B. eine Monotonietabelle oder berechne die 2. Ableitung.
Es ist .
Ermitteln Sie die Koordinaten des Wendepunktes von . (5 BE)
[Mögliches Teilergebnis: ]
Lösung anzeigen
- Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist .
- Bilde die 2. Ableitung von und löse die Gleichung .
- Untersuche den Vorzeichenwechsel an der Stelle .
- Berechne den y-Wert .
Ermittle die Koordinaten des Wendepunktes von
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist .
Bilde die 2. Ableitung von .
Klammere aus und kürze:
Untersuche den Vorzeichenwechsel an der Stelle .
und
Die Koordinaten des Wendepunktes von sind .
Der Graph besitzt die senkrechte Asymptote . Zeichnen Sie im Bereich unter Verwendung vorliegender Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte sowie die senkrechte Asymptote in ein kartesisches Koordinatensystem. Geben Sie auch die Wertemenge der Funktion an.
Maßstab auf beiden Achsen: (5 BE)
Lösung anzeigen
Teil 1
- Erstelle eine Wertetabelle im Bereich .
- Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und zeichne die senkrechte Asymptote ein.
Teil 2
- Gib die Wertemenge an.
Zeichne im Bereich unter Verwendung vorliegender Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte sowie die senkrechte Asymptote in ein kartesisches Koordinatensystem. Gib auch die Wertemenge der Funktion an
Die Wertemenge der Funktion ist .
Die Funktion ist in ihrer Definitionsmenge eine Stammfunktion von (Nachweis nicht nötig!).
Zeigen Sie, dass gilt: (2 BE)
Lösung anzeigen
- Berechne .
Zeige, dass gilt:
Es ist .
und
Markieren Sie in der Zeichnung aus Teilaufgabe d) die beiden Flächenstücke, deren Flächenmaßzahlen bzw. durch folgende Integrale
berechnet werden können.
Ermitteln Sie auf zwei Nachkommastellen gerundet. (4 BE)
Lösung anzeigen
Teil 1
- Zeichne die beiden Geraden und in das Koordinatensystem ein und markiere die entsprechenden Flächeninhalte.
Teil 2
- Mit dem Ergebnis aus Aufgabe e) kann angegeben werden.
Markiere in der Zeichnung aus Teilaufgabe d) die beiden Flächenstücke, deren Flächenmaßzahlen bzw. durch folgende Integrale berechnet werden können
Ermittle auf zwei Nachkommastellen gerundet
Mit dem Ergebnis aus Aufgabe e) erhält man: