Die Abbildung zeigt den Graphen einer gebrochenrationalen Funktion mit ihrer maximalen Definitionsmenge \{}. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, besitzt keine lokalen Extrempunkte und hat genau eine schiefe und genau eine senkrechte Asymptote.
Lesen Sie die Nullstellen der Funktion und die Gleichungen der Asymptoten des Graphen ab und geben Sie diese an. (2 BE)
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- Lies die geforderten Werte ab.
Lies die Nullstellen der Funktion und die Gleichungen der Asymptoten des Graphen ab und gib diese an
Nullstellen: und
Senkrechte Asymptote: (ungerader Pol mit Vorzeichenwechsel)
Schräge Asymptote:
Gegeben ist:
Dieser Wert kann geometrisch als Inhalt einer Fläche im Koordinatensystem der Aufgabenstellung interpretiert werden. Kennzeichnen Sie dieses zugehörige Flächenstück im Koordinatensystem oben. (2 BE)
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- Kennzeichne die Fläche zwischen und der x-Achse von bis
Kennzeichne dieses zugehörige Flächenstück im Koordinatensystem oben
Begründen Sie, dass der Graph der Ableitungsfunktion die waagrechte Asymptote mit der Gleichung besitzt. Zeichnen Sie sämtliche Asymptoten von in das Koordinatensystem der Aufgabenstellung ein und skizzieren Sie in dieses Koordinatensystem. (5 BE)
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Teil 1
- hat die schräge Asymptote und deren Steigung ist gleich .
Teil 2
- Zeichne die geforderten Größen in die Abbildung ein.
Begründe, dass der Graph der Ableitungsfunktion die waagrechte Asymptote mit der Gleichung besitzt
hat die schräge Asymptote . Die Funktion nähert sich für große an die Asymptote an. Die Steigung der Asymptote ist . Demnach nähert sich die Steigung von für große dem Wert , d.h. hat die waagrechte Asymptote .
Zeichne sämtliche Asymptoten von in das Koordinatensystem der Aufgabenstellung ein und skizzieren Sie in dieses Koordinatensystem
ist eine Stammfunktion von mit . Der Graph der Stammfunktion wird mit bezeichnet. Kreuzen Sie für jede der folgenden Aussagen jeweils an, ob sie wahr oder falsch ist. (4 BE)
Hinweis: Setzen Sie Ihr Kreuz nur bei denjenigen Aussagen, bei denen Sie sicher sind. Jedes falsch gesetzte Kreuz geht mit -0,5 BE und jedes richtig gesetzte Kreuz mit +1 BE ein. Im ungünstigsten Fall wird die Aufgabe mit 0 BE gewertet.
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- Versuche die Aussagen zu verifizieren oder zu falsifizieren.
Kreuze für jede der folgenden Aussagen jeweils an, ob sie wahr oder falsch ist
1. Aussage
Es gilt:
Für ist und für hat an der Stelle einen Vorzeichenwechsel von , d.h. die Aussage ist falsch.
2. Aussage
ist streng monoton fallend bis , d.h. die Aussage ist falsch.
3. Aussage
. Du kannst der Abbildung in Aufgabe c) entnehmen, dass für alle ist, d.h. die Aussage ist wahr.
4. Aussage
entspricht der gekennzeichneten Fläche, die etwa groß ist, d.h. die Aussage ist wahr.
