In einer Urne befinden sich sechs grüne, eine rote und eine blaue Kugel. Ein Zufallsexperiment besteht darin, nacheinander jeweils zufällig eine Kugel ohne Zurücklegen zu ziehen und deren Farbe festzustellen. Es wird so lange gezogen, bis die blaue Kugel erscheint, höchstens jedoch dreimal.
Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller zehn Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments. (5 BE)
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- Überlege dir zuerst die Struktur des Baumdiagramms. Beachte, was passiert, wenn du eine blaue Kugel ziehst.
- Ergänze die Wahrscheinlichkeiten, wenn du weißt, dass die Kugeln nicht zurückgelegt werden.
- Bestimme mit der Pfadregel die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse.
- Beachte, dass du, nachdem du eine blaue Kugel ziehst, aufhörst zu ziehen. Es gibt dort also keine weiteren Äste.
- Da du die Kugeln nicht zurücklegst, verkleinert sich der Nenner des Bruchs bei jeder Stufe um eins. Zu Beginn sind es Kugeln.
- Die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse berechnest du mit den Pfadregeln, zum Beispiel:
Es werden nun folgende Ereignisse betrachtet:
: „Es werden alle drei Farben gezogen.“
: „Das Zufallsexperiment endet mit der blauen Kugel.“
Berechnen Sie nachvollziehbar die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse und .
[ Teilergebnis: ]
(3 BE)
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- Stelle zuerst (zumindest im Kopf) die Mengen in aufzählender Mengenschreibweise dar.
- Nach der 2. Pfadregel kannst du Wahrscheinlichkeiten mehrerer Elementarereignisse addieren.
Wahrscheinlichkeit von
Das Ereignis "Es werden alle drei Farben gezogen." ist in aufzählender Mengenschreibweise:
Die zugehörige Wahrscheinlichkeit erhältst du, indem du die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade im Baumdiagramm addierst:
Wahrscheinlichkeit von
Das Ereignis "Das Zufallsexperiment endet mit der blauen Kugel." ist in aufzählender Mengenschreibweise:
Addiere erneut die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten:
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass insgesamt drei Kugeln gezogen werden unter der Bedingung, dass das Zufallsexperiment mit der blauen Kugel endet.
(3 BE)
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Bestimme die bedingte Wahrscheinlichkeit. Identifiziere dazu zunächst die Bedingung und wende dann die Formel an.
Betrachte die beiden Ereignisse
: "Es werden drei Kugeln gezogen." und das Ereignis aus der letzten Teilaufgabe
: "Das Zufallsexperiment endet mit der blauen Kugel."
Du suchst die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eintritt, wenn zuvor bekannt ist, dass gilt, also , wobei .
Du weißt aus der letzten Teilaufgabe, dass .
Bestimme indem du die Ergebnisse aus auswählst, die drei Elemente haben:
und somit
Setze beides in die Formel ein: