Beim Aufladen des Akkus eines Smartphones fließt ein Ladestrom von 2000 Milliampere. Sobald der Akku optimal geladen ist, verringert das Ladegerät den Ladestrom um eine Überladung zu vermeiden.
Die Funktion mit und modelliert den Verlauf des Ladestroms ab dem Erreichen der optimalen Akkuladung zur Zeit bis zur endgültigen Abschaltung des Ladegeräts zur Zeit . Die Funktionswerte von entsprechen der Stärke des Ladestroms in Milliampere und entspricht der Zeit in Minuten.
Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.
Zeigen Sie, dass sich der Funktionsterm näherungsweise auch in der Form schreiben lässt. (3 BE)
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Es gibt mehrere Möglichkeiten, allerdings genügt es auf keinen Fall, nur einige wenige Beispielwerte einzusetzen!
Zeige zum Beispiel unter Anwendung der Potenzgesetze, dass die Wachstumsfaktoren gleich sind, wenn nur noch t im Exponenten steht.
Forme beide Funktionsterme so um, dass sie die Form haben:
Ziehe das t aus dem Zähler des Bruchs
Verwende
Berechne den Wert in der Klammer
Wiederhole für :
Verwende erneut
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Du kannst jede beliebige Exponentialfunktion zur Basis e darstellen, indem du folgende Operation durchführst: , wobei b die ursprüngliche Basis ist.
Hier also:
Das liegt daran, dass sich und gegenseitig aufheben, also:
Das Ladegerät schaltet sich komplett ab, wenn die Ladestromstärke auf Milliampere abgesunken ist. Ermitteln Sie unter Verwendung des Funktionsterms aus a). Runden Sie das Ergebnis auf ganze Minuten und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge für an. (4 BE)
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- Stelle eine Gleichung auf
- Löse die Gleichung
- Runde abschließend sinnvoll und schreibe einen Antwortsatz
- Vergiss nicht mithilfe des berechneten Wertes eine Definitionsmenge festzulegen
Zur Erinnerung:
- beschreibt die Zeit in Minuten seit dem Anstecken an die Steckdose
- beschreibt die Stärke des Ladestroms in Milliampere
Zeitpunkt bestimmen
Da du eine Stromstärke gegeben hast und ein Zeitpunkt gesucht ist, entsteht eine Exponentialgleichung:
Umformung: :2000
Verwende den ln
Umformung: :\left(-0,142\right)
Das Ladegerät schaltet sich also erst kurz nach der . Minute ab.
Definitionsmenge
Die Funktion beschreibt die Situation nur sinnvoll, solange Strom fließt. Das ist ab dem Moment des Ansteckens () bis zum Moment der Abschaltung
(
Somit ist die Definitionsmenge
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Hier gibt es nicht unbedingt eine richtige Antwort. Beim Runden auf ganze Minuten kannst du Minuten oder Minuten antworten oder Formulierungen wie "ca. Minuten" oder "etwas mehr als Minuten" verwenden.
Bei der Definitionsmenge ist dir nicht vorgeschrieben, ob du das gerundete Ergebnis nimmst oder oder gar . Es sollte allerdings zu deinem Antwortsatz passen.