Im Gewächshaus der Gärtnerei werden in einem neu angelegten Beet Tulpenzwiebeln nebeneinander eingesetzt. Mit einer Wahrscheinlichkeit von geht eine eingesetzte Tulpenzwiebel tatsächlich auf und es wächst daraus eine Tulpe.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass aus genau der eingesetzten Zwiebeln Tulpen entstehen. (2 BE)
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- Es handelt sich um eine klassische Bernoulli-Kette.
Identifiziere die nötigen Werte für die Bernoulli-Kette:
- eingesetzte Zwiebeln
- keimende Zwiebeln
- ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zwiebel keimt.
Setze in die Bernoulli-Formel ein:
(Falls du das Ergebnis im Tafelwerk nachschaust, solltest du für die volle Punktzahl zumindest und aufschreiben.)
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Genau zwei der Zwiebeln gehen nicht auf und diese wurden direkt nebeneinander eingesetzt.“ (2 BE)
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- Ermittle die Anzahl der Möglichkeiten, zwei Treffer benachbart in einer Kette mit Länge zu verstecken.
- Variiere die Bernoulli-Formel entsprechend.
Anzahl der Möglichkeiten
Da es insgesamt Blumenzwiebeln sind, gibt es Möglichkeiten, ein Paar aus zwei nicht keimenden Zwiebeln zu platzieren.
Entweder merkst du dir hier die Formel , um die Anzahl der Möglichkeiten für benachbarte Treffer bei Versuchen zu ermitteln.
Oder du überlegst dir, was die letztmögliche Startposition ist: die . Stelle.
Variation der Bernoulli-Formel
Ersetze in der Bernoulli-Formel den Binomialkoeffizienten durch die Möglichkeiten.
Es sind Zwiebeln, die nicht aufgehen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zwiebel nicht aufgeht, beträgt .
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass aus mindestens der eingesetzten Zwiebeln Tulpen entstehen. Entscheiden Sie begründet, ob die folgende Aussage für alle Werte von mit wahr ist:
„Die Wahrscheinlichkeit, dass aus eingesetzten Tulpenzwiebeln mindestens Tulpen entstehen, liegt nicht unter ." (4 BE)
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Hier geht es um kumulierte Wahrscheinlichkeit.
- Schreibe die Situation "mindestens Zwiebeln bilden Tulpen" so um, dass du die Wahrscheinlichkeit im Tafelwerk nachschlagen kannst.
- Für deine Argumentation musst du verwenden, was "kumuliert" bedeutet.
Wahrscheinlichkeit für mindestens 29 Tulpen
Im Tafelwerk kannst du nur "genau Treffer" oder "höchstens Treffer" (kumulierte Wahrscheinlichkeiten) nachschauen. Formuliere deshalb das Gegenereignis:
Gegenteil von "mindestens Tulpen" ist "höchstens Tulpen"
Behauptung zeigen
Vorüberlegung: Die kumulierte Wahrscheinlickeit für "höchstens Treffer" addiert alle Wahrscheinlichkeiten von "genau Treffer" für Werte zusammen. Für größere hast du also auch immer eine höhere kumulierte Wahrscheinlichkeit.
Für Werte von , die kleiner als sind, ist somit noch kleiner als , es wird also noch weniger von abgezogen.
Da bereits größer ist als und für kleinere nur noch weniger abgezogen wird, ist die Aussage also richtig.