Für ein Glücksspiel wird eine gezinkte Münze verwendet, bei der „Kopf“ mit der Wahrscheinlichkeit fällt. Man zahlt Einsatz und wirft dreimal die Münze. Fällt dreimal Kopf, werden ausbezahlt. Wenn immer abwechselnd Kopf und Zahl auftreten, erhält man . Sonst erfolgt keine Auszahlung.
Prüfen Sie, ob das Spiel für den Spieler günstig, fair oder ungünstig ist.
(4 BE)
Lösung anzeigen
- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeiten für Auszahlung und Auszahlung. Beachte, dass es mehrere Möglichkeiten geben kann.
- Ermittle daraus die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es keine Auszahlung gibt.
- Ermittle dann den Erwartungswert und vergleiche ihn mit dem Einsatz.
Sei die Zufallsgröße, die den Auszahlungsbetrag in Euro beschreibt.
Wahrscheinlichkeiten für die Auszahlungsbeträge
Die Wahrscheinlichkeit, dass dreimal Kopf geworfen wird, beträgt bei der gezinkten Münze:
Es gibt zwei Möglichkeiten, abwechselnde Symbole zu werfen:
- Zahl-Kopf-Zahl:
- Kopf-Zahl-Kopf:
Addiere diese:
In allen übrigen Fällen gibt es keine Auszahlung. Das passiert mit einer Wahrscheinlichkeit von , denn:
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(Auszahlungsbetrag in €) | |||
|---|---|---|---|
Erwartungswert berechnen
Bestimme den Erwartungswert, indem du Wahrscheinlichkeiten und Auszahlungsbeträge verrechnest:
Der Auszahlungsbetrag ist mit geringer als der Einsatz von .
Das Spiel ist für den Spieler also nicht fair.
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Alternativ kann statt dem Auszahlungsbetrag auch der Gewinn/Verlust betrachtet werden (z.B. in der Fälle).
Dann muss der Erwartungswert betragen, damit das Spiel fair ist, und ein negativer Erwartungswert bedeutet Verlust für den Spieler.