In einer bestimmten Region Deutschlands sind vier verschiedene Arten von DSL Internetanschlüssen verfügbar, wobei pro Haushalt nur genau eine der vier möglichen Anschlussarten gewählt werden kann. Die Tabelle veranschaulicht die Verteilung der verschiedenen Anschlüsse unter denjenigen Haushalten mit DSL-Anschluss:
Haushalte mit DSL 2000 | Haushalte mit DSL 6000 | Haushalte mit DSL 1600 | Haushalte mit DSL 50000 |
|---|---|---|---|
Im Auftrag eines Internetdienstanbieters soll eine Umfrage zur Internetnutzung durchgeführt werden. Zu diesem Zweck werden Haushalte der Region zufällig ausgewählt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
: „Genau drei der ausgewählten Haushalte besitzen einen DSL 2000-Anschluss.“
: „Mindestens sechs, aber weniger als zehn der ausgewählten Haushalte besitzen einen DSL 50000-Anschluss.“
: „Weniger als die Hälfte der ausgewählten Haushalte verfügen über einen DSL-Internetanschluss.“
(6 BE)
Lösung anzeigen
Es handelt sich immer um binomialverteilte Zufallsgrößen, sodass du mit Bernoulli-Ketten und kumulierter Wahrscheinlichkeit arbeiten kannst.
Überlege für jedes Ereignis neu, was die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Treffer ist.
Bei allen Ereignissen werden Kunden befragt und somit ist die Länge der Bernoulli-Kette
Wahrscheinlichkeit von
Wahrscheinlichkeit für DSL 2000:
Anzahl der Treffer: genau
Verwende die Bernoulli-Formel:
Wahrscheinlichkeit von
Wahrscheinlichkeit für DSL 5000:
(Diese Wahrscheinlichkeit gibt es im Tafelwerk!)
Anzahl der Treffer: mindestens aber weniger als
Es handelt sich also um eine kumulierte Wahrscheinlichkeit:
Im Tafelwerk und auch in den meisten Rechnern können nur Wahrscheinlichkeiten der Form "höchstens Treffer" nachgeschaut werden.
Ersetze "weniger als " durch "höchstens ".
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kann als Differenz ausgedrückt werden. Da aber in der kumulierten Wahrscheinlichkeit enthalten ist, muss alles bis zur abgezogen werden.
Wahrscheinlichkeit von
Wahrscheinlichkeit für DSL:
(Diese Wahrscheinlichkeit steht im Tafelwerk.)
Anzahl der Treffer: weniger als die Hälfte von , also
Das ist gleichbedeutend mit höchstens Treffern, also
Das ist erneut eine kumulierte Wahrscheinlichkeit, die du direkt nachschauen kannst: