Auf einem Jahrmarkt gibt es einen Stand mit Losen. In einer Lostrommel befinden sich 10 Lose, unter denen 6 Gewinnlose und 4 Nieten sind. Berechne für 5-maliges Ziehen eines Loses, wobei die Lose nicht zurückgelegt werden, den Erwartungswert für
- die Zufallsgröße : "Anzahl der Gewinnlose"
- die Zufallsgröße : "Anzahl der Nieten"
Lösung anzeigen
Teilaufgabe 1
: Anzahl der Gewinnlose unter den 5 gezogenen Losen.
Gesucht: Erwartungswert
Für den Erwartungswert einer (diskreten) Zufallgröße gibt es eine Formel, bei der
- alle vorkommenden Werte von jeweils mit ihrer Wahrscheinlichkeit multipliziert werden,
- und dann alle diese Produkte addiert werden.
Das heißt: Du brauchst jetzt als erstes die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße .
Überlege dir dazu zunächst das richtige Modell für diese Aufgabe, d. h.:
- mit oder ohne Zurücklegen?
- mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge?
Urnenmodell für diese Aufgabe:
- Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
- aus einer Urne mit insgesamt 10 Kugeln (bzw. Losen), von denen 6 Kugeln schwarz sind (bzw. 6 Lose Gewinnlose sind).
Wenn du jetzt das richtige Modell gefunden hast, kannst du die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen:
Für das Modell "Ziehen von n Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne mit S schwarzen und N-S weißen Kugeln" gilt die Formel der hypergeometrischen Verteilung:
für die Wahrscheinlichkeit, genau k schwarze Kugeln zu erhalten.
Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten
Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung:
k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
P(X=k) | 0 |
Der Erwartungswert ist also:
Erwartet wird also, dass man auf lange Sicht im Durchschnitt 3 Gewinnlose unter den 5 Losen zieht.
Teilaufgabe 2
: Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen.
Gesucht: Erwartungswert
Möglichkeit 1:
Wenn du Teilaufgabe 1 bereits gelöst hast, kannst du den Erwartungswert sehr schnell so bestimmen:
Da die Anzahl der Gewinnlose und die Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen ist, muss stets gleich 5 sein.
Entsprechend gilt das auch für die Erwartungswerte.
Diese Gleichung kannst du nun ganz einfach nach umstellen,
und dann einsetzen.
Möglichkeit 2:
Zur Kontrolle - oder wenn du Teilaufgabe 1 nicht verwenden willst - kannst du das Ergebnis auch noch einmal unabhängig vom Ergebnis von Teilaufgabe 1 ausrechnen. Das geht nach der gleichen Methode wie die Rechnung bei Teilaufgabe 1:
: Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen.
Gesucht: Erwartungswert
Damit hast du festgelegt, was ist,
und brauchst für die Berechnung des Erwartungswertes von jetzt wiederum die Formel für den Erwartungswert
und dazu die Wahrscheinlichkeitsverteilung von .
Überlege dir dazu wieder das geeignete Modell.
Urnenmodell für diese Aufgabe:
- Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
- aus einer Urne mit insgesamt 10 Kugeln (bzw. Losen), von denen 4 Kugeln schwarz sind (bzw. 4 Lose Nieten sind).
Das ist ganz entsprechend wie bei Teilaufgabe 1.
Verwende nun wieder (genauso wie bei Teilaufgabe 1), dass für das Modell "Ziehen von n Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne mit S schwarzen und N-S weißen Kugeln"
die Formel der hypergeometrischen Verteilung gilt:
Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten.
Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung:
k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
P(Y=k) | 0 |
Der Erwartungswert ist also:
Erwartet wird also, dass man auf lange Sicht im Durchschnitt 2 Nieten unter den 5 Losen erhält.