Der Umfang der Erde
Der griechische Mathematiker Eratosthenes hat vor über 2000 Jahren den Umfang der Erde berechnet.
Dazu brauchte er nur zwei Orte:
- Einen tiefen Brunnen in Assuan und
- den Obelisken in Alexandria
Sobald die Sonne genau über dem Brunnen in Assuan stand, wurde in Alexandria vermessen, wie groß der Schatten am Obelisk war.
Wie Eratosthenes werden wir auf diese Weise den Umfang der Erde berechnen.
Schatten in Alexandria
In Alexandria befindet sich der Obelisk der Kleopatra.
Er ist hoch und warf einen Schatten von .
Berechne den Winkel in der Spitze des Obelisken. Runde dabei auf zwei Stellen.
Hilfe: Wie berechnet man Winkel im rechtwinkligen Dreieck?
Im rechtwinkligen Dreieck sind die folgenden Seiten gegeben:
- die Gegenkathete von mit
- die Ankathete von mit
Diese Katheten stehen in einem bestimmten Verhältnis, das der Tangens beschreibt:
Wenn man den Winkel berechnen will, muss von der rechten Seite der Wert
berechnet werden.
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Im rechtwinkligen Dreieck sind die folgenden Seiten gegeben:
- die Gegenkathete von mit
- die Ankathete von mit
Berechne den Winkel mithilfe des Tangens.
Lösung
In diesem rechtwinkligen Dreieck sind Gegenkathete und Ankathete gegeben. Damit wählen wir den Tangens, um den Winkel aus diesen Seiten zu berechnen.
Verwende auf beiden Seiten
Runde auf zwei Stellen
Der Schatten fällt in einem Winkel von .
Die Suche nach dem Winkel
Der Winkel am Obelisk ist sehr wichtig. In der Skizze ist noch einmal zu finden, klicke ihn an!
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In der Skizze sind die gestrichelte Linie und die Linie nach Assuan parallel.
In so einer Konstruktion lohnt es sich nach Scheitelwinkel, Wechselwinkel und Stufenwinkel zu suchen. Welchen findest du?
Lösung
Der Winkel ist als Wechselwinkel im Dreieck von Alexandria, Assuan und dem Erdmittelpunkt zu finden.
Der Winkel beschreibt damit auf eine gewisse Art die Distanz zwischen Alexandria und Assuan.
Der Umfang der Erde
Die Strecke von Alexandria nach Assuan wurde von den Soldaten des Pharaos abmarschiert, um sie zu messen:
Diese Strecke steht zum Erdumfang im gleichen Verhältnis, wie der Winkel zum vollen Winkel .
Berechne damit den Erdumfang in ganzen .
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Berechne das Verhältnis der Winkel .
Das ist das gleiche Verhältnis, wie .
Lösung
Aus der Gleichheit der Verhältnisse erhält man die Gleichung:
Umformung: \ \cdot787,5
Wir haben wie Eratosthenes den Umfang der Erde auf bestimmt.