Punkte mit legen zusammen mit den Punkten und Parallelogramme fest.
In das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ist das Parallelogramm für eingezeichnet.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes für und zeichnen Sie sodann das Parallelogramm ein.
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Lösung zu Teilaufgabe a
In dieser Aufgabe beschäftigst du dich mit der Konstruktion von Parallelogrammen.
Um den Punkt zu berechnen, setzt du den Wert in ein und erinnerst dich, dass gilt. Damit erhältst du .
Nun kannst du den Punkt sowie die Verbindungsgeraden und in das Koordinatensystem eintragen.
Zeichne anschließend je eine Parallele zur Strecke durch den Punkt und eine Parallele zu durch den Punkt . Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden liefert den Punkt und somit auch das Parallelogramm .
Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Trägergraphen der Punkt gilt:
.
Zeichnen Sie den Trägergraphen in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.
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Lösung zu Teilaufgabe b
In dieser Aufgabe benutzt du Konzepte aus dem Artikel Geradengleichung.
Gegeben sind die zwei Punkte und . Du berechnest zunächst die Steigung des Trägergraphen . Dies machst du mit dem Steigungsdreieck:
Für den -Achsenabschnitt setzt du den Punkt in die Geradengleichung ein und berechnest:
Setze die Definition von ein.
Setze den Wert für ein.
Vereinfache.
Umformung: +6
Löse nach auf.
Zusammenfassend hast du die Geradengleichung des Trägergraphes bestimmt:
Für die Skizze des Trägergraphens kannst du nochmal in die Lösung zu Teilaufgabe (a) schauen.
Begründen Sie, dass die Flächeninhalte aller Parallelogramme maßgleich sind.
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Lösung zu Teilaufgabe c
Erinnere dich an die Berechnung von Parallelogrammflächen mittels Determinante. Dies geht genauso wie im Artikel Dreiecksfläche im Koordinatensystem beschrieben; lediglich der dort erwähnte Vorfaktor fällt weg.
Du berechnest zunächst die Fläche des Dreiecks . Dazu verwendest du die Verbindungsvektoren:
und
Nach der Determinantenformel gilt
Aus Symmetriegründen ist der Flächeninhalt des Parallelogramms das Doppelte des Dreiecksflächeninhalts:
Da dieses Ergebnis unabhängig von ist, folgt, dass der Flächeninhalt aller Parallelogramme konstant bleibt.