Gegeben sind Sechsecke mit der Symmetrieachse . Der Punkt ist der Mittelpunkt der Strecken und .
Es gilt: und .
Die Winkel haben das Maß und die Winkel haben das Maß mit
Die Zeichnung zeigt das Sechseck für .
Zeigen Sie, dass für die Längen der Strecken und in Abhängigkeit von gilt: und
Lösung anzeigen
Die Längen der Strecken und :
Da der Mittelpunkt der Längen und ist, ist die gesuchte Länge .
im rechtwinkligen Dreieck (rot) mithilfe der Trigonometrie:
|
Daraus folgt:
Da G der Mittelpunkt der Längen und ist, ist die gesuchte Länge .
Wir gehen wie oben vor:
im rechtwinkligen Dreieck (rot) mithilfe der Trigonometrie:
|
Die Sechsecke rotieren um die Gerade .
Zeigen Sie, dass für den Oberflächeninhalt der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von gilt:
Lösung anzeigen
Oberflächeninhalt von dem entstehenden Rotationskörper:
Der Rotationskörper setzt sich aus zwei Kegeln zusammen, daher können wir die Oberfläche wie folgt berechnen:
(grün) + (blau) - (Kreisfläche zwischen den Kegeln)
Allgemein: s
Wir kennen die Radien der beiden Kegel, benötigen aber bei beiden Kegeln noch die Seitenlänge s.
- Seitenlänge : Im rechtwinkligen Dreieck (siehe oben) mit Hilfe der Trigonometrie:
- Seitenlänge : Im rechtwinkligen Dreieck (siehe oben) mit Hilfe der Trigonometrie:
Jetzt können wir die Seitenlängen in die Formel einsetzen:
Sortieren wie in der Angabe.
Für das Sechseck gilt: .
Zeichnen Sie das Sechseck in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein.
Berechnen Sie sodann den Oberflächeninhalt des zugehörigen Rotationskörpers. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
Lösung anzeigen
Zeichnung des Sechsecks :
Es gilt: , das Dreieck ist folglich gleichseitig und gleichwinklig: .
Ausführliche Zeichnung:
- Wir wissen, dass ist, folglich können wir an zwei -Winkel messen (blau und grün) und die beiden Halbgeraden zeichnen.
- Die Halbgeraden schneiden die Seite in den Punkten und (rot).
Oberflächeninhalt des Körpers für :
Setze ein.
Klammere aus.
Fasse zusammen.