Aufgabe B3
Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung und , .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Geben Sie die Wertemenge der Funktion und die Gleichung der Asymptote des Graphen zu an.
Zeichnen Sie zudem den Graphen zu für in ein Koordinatensystem ein. (3 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit ;
Lösung anzeigen
Schreibe den Logarithmus auf einen mit der Basis um.
Benutze, dass alle Logarithmen bei Null eine senkrechte Asymptote haben.
geg.: jeweils mit
Anwendung der Identität von auf
Für die Zeichung gilt:
ges.:
1. Wertemenge von
2. Gleichung der Asymptote des Graphen von für
Ansatz und Rechnung:
1. Wertemenge:
2. Graph: gezeichnet mit https://www.mathway.com
Der Graph der Funktion wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse sowie
anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor auf den Graphen der Funktion abgebildet.
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion die Gleichung besitzt und zeichnen Sie den Graphen zu für in das Koordinatensystem zu a) ein. (3 P)
Lösung anzeigen
1. Spiegelung von an x-Achse;
2. Parallelverschiebung von ;
3. Graph der gespiegelten und verschobenen Funktion ins KOSY einzeichnen
geg.: Funktionsgraph ; Verschiebungsvektor
ges.: (=gespiegelte und parallel verschobene ) mit Graph
Ansatz und Rechnung:
1. Spiegelung an x-Achse durch Multiplikation des Funktionsterms mit
einsetzen in :
Jetzt kann man natürlich wieder in umbenennen:
2. Parallelverschiebung der gespiegelten Funktion durch Vektoraddition
mit
eingesetzt in
Jetzt wird wieder in umbenannt:
Anwendung der Identität von
3. Einzeichnen des Graphen zu für
Graph wurde gezeichnet mit https://www.mathway.com
Punkte auf dem Graphen zu haben dieselbe Abszisse wie Punkte auf dem Graphen zu . Sie sind für zusammen mit Punkten und die Eckpunkte von Drachenvierecken mit den Symmetrieachsen .
Es gilt: .
Zeichnen Sie die Drachenvierecke für und für mit ihren Diagonalen in das Koordinatensystem zu a) ein. (2 P)
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Eckpunkte und sowie und der Drachenvierecke berechnen und ins KOSY einzeichnen;
Eckpunkte und sowie und der Drachenvierecke berechnen und ins KOSY einzeichenen
geg.: auf und auf sind für mit den Punkten und die Eckpunkte von Drachenvierecken mit den Symmetrieachsen
ges.: Zeichnung der Drachenvierecke für und für mit ihren Diagonalen und ins KOSY
Ansatz & Rechnung:
1. Eckpunkte und für sowie und für berechnen und einzeichnen.
Unter Berücksichtigung der Identität von
Diagonalen und einzeichnen.
2. Eckpunkte sowie berechnen und einzeichnen:
aus Vektor ergeben sich die und Komponenten für die Abstandsverhältnisse der Punkte Abstand von Diagonale und Abstand von , siehe nachfolgende Zeichnung.
Damit ergeben sich die Koordinaten von und wie folgt:
aus
aus
liegen spiegelbildlich zu , d.h. Komponenten der werden mit berechnet:
aus
aus
Graphen und gezeichnet mit https://www.mathway.com,
Drachenvierecke und mit den zuvor berechneten Werten einzeichnen
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt: . (2 P)
Lösung anzeigen
Berechnung der Strecke
geg.: Punkte auf ;
Punkte auf ;
ges.:
Ansatz und Rechnung:
mit 1. Logarithmusgesetz: folgt:
Das Drachenviereck ist eine Raute.
Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes . (3 P)
Lösung anzeigen
Berechnung der x-Koordinate eines Punktes mithilfe a-b-c-Formel
geg.: Drachenviereck wird Raute
ges.: Koordinate von Punkt
Ansatz und Rechnung:
Bei einer Raute halbieren sich die Diagonalen. Die Entfernung von zum Schnittpunkt beträgt .
Daher ist .
siehe Daten aus Aufgabe B_3c und B_3d
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Anwendung der Identität von
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| Logarithmus in Potenz umwandeln
| Potenz ausrechnen
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a-b-c-Formel ("Mitternachtsformel") anwenden:
1. Diskriminante berechnen mit , , :
2 Lösungen
2. D in a-b-c-Formel einsetzen:
Wegen fällt diese Lösung weg.
Die -Koordinate von ist also .
Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung des Trägergraphen der
Punkte gilt: mit .
Geben Sie sodann die Gleichung des Trägergraphen der Punkte an. (3 P)
Lösung anzeigen
Trägergraphen und für Punkte und berechnen
geg.: Zur Berechnung der Punkte werden die und Komponenten der Gleichungen und jeweils mit den Koordinaten von ergänzt.
Abstand der Punkte zu ist ;
Abstand der Punkte zu Diagonale ist
Die Punkte liegen spiegelbildlich zur Ordinatenachse, also von Diagonale und von den Punkten
ges.: Trägergraph für Punkte und Trägergraph für Punkte .
Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung von mithilfe von
: und
in einsetzen:
2. Berechnung von mithilfe von
: und
in einsetzen: