Aufgabe B4
Das Trapez mit ist die Grundfläche des Prismas mit der Höhe (siehe Skizze).
Es gilt: ; ;
; ; .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas und die Strecke , wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: ; .
Zeigen Sie sodann, dass für das Maß des Winkels gilt: . (3 P)
Lösung anzeigen
- Zeichne das Schrägbild des Prismas.
- Berechne das Maß des Winkels mit dem Tangens.
Zeichnung Schrägbild Prisma:
Berechnung mithilfe des Tangens
(Im folgenden wird abgekürzt: AK: Ankathete, GK: Gegenkathete und HY: Hypotenuse)
Punkte liegen auf der Strecke . Die Winkel haben das Maß mit . Die Punkte sind die Spitzen von Pyramiden mit den Höhen .
Es gilt: .
Zeichnen Sie für die Strecke , die Pyramide und die Höhe in das Schrägbild zu a) ein.
Ermitteln Sie sodann rechnerisch die Länge der Strecken in Abhängigkeit von .
(3,5 P)
Teilergebnis:
Lösung anzeigen
- Ergänze die Pyramide in deiner Zeichnung.
- Berechne die Strecke mit dem Sinussatz.
Zeichnung
- an antragen, schneidet in ;
- mit den Eckpunkten verbinden;
- Höhe durch zur Strecke zeichnen
Berechnung der Strecke mithilfe der Verhältnisgleichung der Strecken und und deren Sinus
- Dafür halten wir fest, dass der Winkel gegenüber beträgt.
- Den Winkel gegenüber berechnen wir mithilfe der Innenwinkelsumme eines Dreiecks:
Umformung: \cdot |\overline {AE}|
einsetzen
In der Pyramide gilt: .
Berechnen Sie die Länge der Strecke sowie den zugehörigen Wert für . (3,5 P)
Teilergebnis:
Lösung anzeigen
- Berechne die Länge der Strecke mit dem Kosinus.
- Bestimme den Winkel mit der Formel aus Teilaufgabe (b).
Länge der Strecke berechnen
auflösen nach
Berechnung von mit der allgemeinen Formel aus b
mit Additionstheorem für Sinus:
Umformung: \cdot \sin(φ)\cdot0,853+0,521\cdot \cos(φ)
Umformung: :\sin(φ)
im ersten Bruch kürzen
ersetze
Umformung: 0,636
Umformung: :0,388
Kehrbruch
Umformung: \text{tan}^{-1}
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für das Volumen der Pyramiden in
Abhängigkeit von gilt: . (3 P)
Lösung anzeigen
- Berechne des Volumens der Pyramide .
- Bestimme dazu die Länge mit dem Sinus.
Volumen der Pyramide
Allgemein gilt:
mit und
mit
Bekannt ist schon:
Die noch fehlende Größe wird berechnet
Hierbei sind (vgl. Aufgabe 4 b)
und
Damit wird
Wir setzen in die vorher aufgestellte Formel ein
Unter den Strecken hat die Strecke die minimale Länge.
Begründen Sie, dass für die zugehörige Belegung für gilt: .
Berechnen Sie sodann den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide am Volumen des Prismas . (3,5 P)
Lösung anzeigen
- Überlege dir, wie groß der Winkel sein muss, damit eine minimale Länge annimmt.
- Setze dieses Winkelmaß in die Volumenformel aus Aufgabenteil d ein.
- Berechne danach das Volumen des Prismas , sowie den prozentualen Anteil der Pyramide am Volumen des Prismas.
Berechne im Dreieck : es gilt
Nun berechnen wir das Volumen mit der Formel aus d
Dafür setzen wir in die Gleichung aus d ein:
Wert einsetzen
Jetzt berechnen wir das Gesamtvolumen des Prismas
Hierfür nutzen wir die berechneten Werte aus d