Vitamin D kann im menschlichen Körper produziert werden, wenn Sonnenstrahlung unter bestimmten Bedingungen auf die Haut trifft. Im Winterhalbjahr nimmt daher die Konzentration von Vitamin D im Körper normalerweise ab.
Bei Andreas wurde Ende September eine Anfangskonzentration von Nanogramm Vitamin D pro Milliliter Blut gemessen. Der Zusammenhang zwischen der Anzahl der Wochen und der verbleibenden Konzentration an Vitamin D lässt sich bei Andreas näherungsweise durch die Funktion mit der Gleichung
beschreiben.
Um wie viel Prozent reduziert sich folglich bei Andreas die Konzentration an Vitamin D in einer Woche?
Lösung anzeigen
Die Vitamin-D-Konzentration beträgt zu Beginn der Messung .
Nach einer Woche beträgt sie .
Antwort: Die Konzentration hat um abgenommen.
Berechnen Sie mithilfe der Funktion die Konzentration an Vitamin D bei Andreas nach 21 Tagen.
Runden Sie auf 2 Nachkommastellen.
Lösung anzeigen
Antwort: Nach Tagen, also Wochen beträgt die Konzentration bei Andreas:
Berechnen Sie, in welcher Woche sich die Anfangskonzentration an Vitamin D bei Andreas entsprechend der Funktion halbiert.
Lösung anzeigen
Da es keine "halben" Wochen gibt, muss man hier aufrunden.
Achtung: hier gelten die Rundungsregeln nicht, es muss nach dem jeweiligen Kontext entschieden werden!
Antwort: In der 10. Woche hat sich die Vitamin-D-Konzentration halbiert.
Bei Stephan wurde gleichzeitig mit Andreas eine Messung begonnen. Bei Stephan lässt sich der Zusammenhang zwischen der Anzahl der Wochen und der verbleibenden Konzentration an Vitamin D durch die Funktion mit der Gleichung beschreiben.
Ist es unter diesen Voraussetzungen möglich, dass die Konzentrationen an Vitamin D zu einem Zeitpunkt bei Stephan und Andreas den gleichen Wert erreichen? Begründen Sie Ihre Entscheidung ohne Rechnung.
Lösung anzeigen
Die Vitamin-D-Konzentrationen bei Stephan und Andreas können zu keinem Zeitpunkt gleich sein. Denn die beiden Exponentialfunktionen sind streng monoton fallend.
Für ist die Konzentration bei Andreas und bei Stephan . Da also die Startkonzentration bei Stephan niedriger ist als bei Andreas, und die Konzentration bei Stephan schneller fällt als bei Andreas, können beide Vitamin-D-Konzentrationen nie gleich sein.