Gegeben sind die Trapeze mit den parallelen Seiten und . Die Winkel haben das Maß mit .
Kreise mit den Mittelpunkten haben die Radien und schneiden die Halbgeraden in den Punkten .
Die Figuren werden von den Kreisbögen sowie den Strecken , und begrenzt.
Es gilt: ; ; . Die Skizze zeigt die Figur für .
Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt:
Lösung anzeigen
Man zeichnet eine Parallele zur y-Achse durch den Punkt . Diese Parallele schneidet die Strecke im Punkt . Die Strecke werde mit bezeichnet. Dann gilt im rechtwinkligen Dreieck :
Und dann
Die Figuren rotieren um die Geraden . Bestandteile der entstehenden Rotationskörper sind Halbkugeln. Bei dem Körper, der durch Rotation der Figur entsteht, hat die Halbkugel ein Volumen von .
Bestimmen Sie rechnerisch den Radius sowie das zugehörige Maß für .
Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
Lösung anzeigen
Das Volumen einer Kugel berechnet sich nach der Formel:
.
und somit können wir die Formel nach auflösen:
Dadurch berechnet sich der Winkel wie folgt: