Aufgabe B3
Die nebenstehende Skizze zeigt das Viereck .
Es gilt: ; ;
; ; .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Viereck und die Strecke .
Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels und die Länge der Strecke . (3,5 P)
Teilergebnisse:
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Zeichnung des Vierecks und der Strecke ; Berechnung des Winkels und der Länge der Strecke
geg.:
ges.: Winkel und Länge der Strecke
Ansatz und Rechnung:
Grundwissen: Pythagoras, allgemeine Vierecke, Sinussatz, Kosinussatz, Kreisbogen, Prozentrechnung.
1. Zeichnen des Vierecks ABCD und der Strecke
2. Berechnung von mithilfe Pythagoras:
3. Berechnung von Winkel
Berechnen Sie die Längen der Strecken und . (4 P)
Zwischenergebnis: ; Teilergebnis
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Berechne zunächst den Winkel , um den Winkel zu bestimmen.
Verwende dann Sinussatz und Kosinussatz.
geg.:
ges.: Längen der Strecken und
Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung der Strecke mit Sinussatz und Tangens:
Im Dreieck sind bisher nur die Strecke und der Winkel bekannt.
Daher muss zunächst eine dritte Größe berechnet werden:
berechne den Winkel im rechtwinkligen Dreieck und mit dem bekannten Winkel den Winkel .
wird berechnet mit
Somit ist
Sinussatz angewandt auf Dreieck ergibt:
Aufgelöst nach ergibt das:
2. Berechnung der Strecke mit Kosinussatz:
Zuerst wird der Winkel mit Hilfe der Winkelsumme im Dreieck bestimmt:
Der Kosinussatz angewandt auf die Strecke ergibt:
Hinweis: Diese Berechnung kannst du auch mit den bekannten Größen , und dem Winkel , den du wie in der Rechnung oben bestimmst und dem Sinussatz durchführen.
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Vierecks . (2 P)
Ergebnis:
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Bestimmung des Flächeninhalts von Viereck bestehend aus dem rechwinkligen Dreieck und dem allgemeinen Dreieck
geg.: Wertangaben und Rechenergebnisse aus Aufgabe und
ges.: Gesamtfläche bestehend aus und
Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung der Fläche des rechtwinkligen :
mit und
2. Berechnung der Fläche des allgemeinen mithilfe des Sinussatzes:
Der Sinussatz mit zwei Seitenlängen und dem eingeschlossenen Winkelmaß lautet:
mit
3. Berechnung der Gesamtfläche des Vierecks :
Der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius schneidet die Strecke im Punkt und die Strecke im Punkt .
Ergänzen Sie in der Zeichnung zu Aufgabe a) den Kreisbogen mit dem Mittelpunkt und die Strecke . (1 P)
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Geometrische Zeichnung anfertigen
1. Einzeichnen des Kreisbogens mit Radius um Mittelpunkt .
2. Kreisbogen schneidet die Strecke in Punkt und die Strecke in
Der Kreisbogen und die Strecke begrenzen eine Figur.
Berechnen Sie den Umfang dieser Figur. (2,5 P)
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Bestimme die Länge des Kreisbogens mit Winkel und Radius und die der Strecke mit dem Kosinussatz.
geg.: Kreismittelpunkt ist Eckpunkt des Vierecks ; Kreisradius ist ; Öffnungswinkel des Kreisbogensektors ist
ges.: Kreisbogenlänge und Strecke (=Kreissehne)
Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung der Kreisbogenlänge mithilfe der Kreisbogenformel:
mit ; ;
2. Berechnung der Strecke mithilfe des Kosinussatzes:
mit ; ; ;
3. Berechnung des Umfangs der Figur (bestehend aus Kreisbogen und Sehne :
Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Flächeninhalts der Figur aus e) am
Flächeninhalt des Vierecks . (3 P)
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Bestimmung der Figurfläche (gebildet aus dem Kreisbogen und der Strecke ); Bestimmung des %-Anteils der Figurfläche an Fläche des Vierecks
Grundwissen: Kreissektorformel, Sinussatz für Dreiecksfläche, Prozentrechnung
geg.: Öffnungswinkel des Kreissektors ist ; ;
Kreisbogenlänge und Strecke (Kreissehne)
ges.: und %-Anteil von an
Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung der Fläche des Kreissektors mithilfe der Kreissektorformel:
Kreissektor Teilfläche eines Kreises, die vom Kreisbogen und den zwei Kreisradien begrenzt wird:
mit und
2. Berechnung der Dreiecksfläche von mithilfe Sinussatz:
Der Sinussatz mit zwei Seitenlängen und dem eingeschlossenen Winkelmaß lautet:
mit ; =100°
3. Berechnung der Figur (=Kreissegment) durch Subtraktion der Flächen:
Kreissektor minus Dreiecksfläche von :
4. Berechnung des Prozentanteils der Figur (=Kreissegment ) an (gem. Aufgabe B 3.c)
Der Anteil der Figur am Flächeninhalt des Vierecks beträgt