Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide mit der Höhe , deren Grundfläche die Raute mit dem Diagonalenschnittpunkt ist.
Es gilt: . Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide , wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll. Für die Zeichnung gilt: . Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke und das Maß des Winkels . Teilergebnis:
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Teilaufgabe a
- Gerade mit
- Da ist, ist die Strecke = auf der Zeichnung lang (siehe nächste Abbildung rot)
- Die Eckpunkte werden nun miteinander verbunden, so erhältst du die Grundfläche der Pyramide.
- Pyramidenspitze wird nun mit den Eckpunkten der Grundfläche verbunden.
Länge der Strecke :
Maß des Winkels :
|
Punkte liegen auf der Strecke mit . Sie sind Mittelpunkte von Strecken mit und . Punkte sind Spitzen von Pyramiden mit den Grundflächen und den Höhen , wobei gilt: .
Zeichnen Sie die Pyramide und die zugehörige Höhe für in das Schrägbild zur Teilaufgabe a) ein.
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Teilaufgabe b
Pyramide :
- und liegt auf der Strecke .
- Fälle anschließend das Lot an auf (nächste Abbildung).
- : Kreis um Mittelpunkt mit Radius .
- Die Lotgerade und der Kreis schneiden sich im Punkt .
- Zeichne eine parallele Gerade zu mit dem Abstand .
- ist der Schnittpunkt auf und der Schnittpunkt auf .
- Eckpunkte verbinden.
Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen der Pyramide gilt:
.
Bestimmen Sie sodann den prozentualen Anteil des Volumens am Volumen der Pyramide .
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Teilaufgabe c
Volumen der Pyramide
Die Grundfläche setzt sich aus zwei Dreiecken zusammen:
+ .
- Dafür fehlt die Länge .
über den Strahlensatz:
- Flächenberechnung der Dreiecke:
- Grundfläche
Höhe im rechtwinkligen Dreieck mit dem Satz des Pythagoras:
(Achtung: )
Volumen der Pyramide :
Man kann die Pyramide in zwei Pyramiden teilen, mit der dreieckigen Grundfläche () und Höhe .
Der prozentuale Anteil des Volumens am Volumen V:
In der Pyramide gilt: .
Bestimmen Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für .
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Teilaufgabe d
Der Wert in der Pyramide mit :
Im rechtwinkligen Dreieck kann man über den Satz des Pythagoras ermitteln.
Für die Pyramide gilt folglich: .
Zeigen Sie, dass für die Höhen der Pyramiden in Abhängigkeit von gilt: .
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Teilaufgabe e
Im Dreieck mit dem Satz des Pythagoras:
Binomische Formel.
Klammer auflösen.
Zusammenfassen.
Begründen Sie, weshalb es unter den Pyramiden keine Pyramide mit gibt.
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Teilaufgabe f
Wenn es eine Pyramide mit gäbe, dann würde gelten: und damit ist
wäre damit länger als . Dies kann aber nicht sein, da dann wäre.