Der Punkt ist gemeinsamer Eckpunkt von rechtwinkligen Dreiecken , wobei die Punkte auf der Geraden mit der Gleichung liegen (). Die Hypotenusen sind dabei stets doppelt so lang wie die Katheten .
Zeichnen Sie die Dreiecke für und für in das Koordinatensystem ein.
Lösung anzeigen
Bei beiden Dreiecken gehst du gleichermaßen vor:
- Berechne die Länge der Kathete
- Indem du diesen Wert verdoppelst, erhältst du die Länge der Hypothenuse
- Konstruiere jetzt die Lage des Punktes und zeichne das Dreieck ein
Um das erste Dreieck zu skizzieren, zeichnet man zunächst die Punkte und ein. Die Koordinaten von lassen sich ermitteln, indem man in die Funktionsgleichung der Gerade den Wert für einsetzt:
hat also die Koordinaten .
Um den Abstand zwischen den beiden Punkten zu berechnen, benutzt man den Satz des Pythagoras. Die beiden Punkte und lassen sich mit einem dritten Punkt zu einem rechtwinkligen Dreieck verbinden:
Der Abstand zwischen den beiden Punkten ist also die Hypotenuse des Dreiecks, jetzt kann man den Satz des Pythagoras anwenden:
Umformung: \sqrt{\ \ \ \ \ }
Die Kathete hat eine Länge von . Die Hypotenuse muss also die Länge haben.
Da das Dreieck rechtwinklig sein muss, kann man mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Strecke berechnen:
Umformung: -6,25
Umformung: \sqrt{\ \ \ \ \ }
Jetzt weiß man also die Länge der drei Seiten des Dreiecks. Damit kann man die Lage von ermitteln und das Dreieck konstruieren:
Um das zweite Dreieck zu skizzieren, zeichnet man zunächst die Punkte und ein. Die Koordinaten von lassen sich ermitteln, indem man in die Funktionsgleichung der Gerade den Wert für einsetzt:
hat also die Koordinaten .
Um den Abstand zwischen den beiden Punkten zu berechnen, benutzt man den Satz des Pythagoras. Die beiden Punkte und lassen sich mit einem dritten Punkt zu einem rechtwinkligen Dreieck verbinden:
Der Abstand zwischen den beiden Punkten ist also die Hypotenuse des Dreiecks, jetzt kann man den Satz des Pythagoras anwenden:
Umformung: \sqrt{\ \ \ \ \ }
Die Kathete hat eine Länge von . Die Hypotenuse muss also die Länge haben.
Da das Dreieck rechtwinklig sein muss, kann man mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Strecke berechnen:
Umformung: -10
Umformung: \sqrt{\ \ \ \ \ }
Jetzt weiß man also die Länge der drei Seiten des Dreiecks. Damit kann man die Lage von ermitteln und das Dreieck konstruieren:
Begründen Sie, dass für die Winkel gilt: .
Lösung anzeigen
- Stelle eine Gleichung auf, indem du den Kosinus des Winkels durch die Ankathete und die Hypotenuse ausdrückst, deren Längenverhältnis bekannt ist
- Wende man den Arcuscosinus auf die Gleichung an
Der Winkel hat als Scheitelpunkt den Punkt , also wird er hier als bezeichnet.
Da alle Dreiecke rechtwinklig sind, kann man hier Sinus, Kosinus und Tangens anwenden.
Das Verhältnis der Länge der Ankathete zu der Länge der Hypotenuse ist bekannt, die Hypotenuse ist immer doppelt so lang wie die Ankathete.
Mit diesem Wissen kann man jetzt berechnen:
Umformung: \arccos
Zeigen Sie, dass für die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt: .
Lösung anzeigen
- Stelle eine Gleichung mit und mithilfe der Aufgabenstellung auf
- Drücke die Länge der Seiten und mithilfe des Satzes des Pythagoras aus
- Setze die so entstandenen Gleichungen in die erste Gleichung ein
- Nutze auch die Koordinaten von , die hier bewiesen werden sollen
- Stelle um, bis auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe steht
- Hinweis: die angegebenen Koordinaten von sind gerundet
Um zu zeigen, dass alle die Koordinaten haben,
braucht man das Längenverhältnis der beiden Seiten und :
Als Nächstes muss man Gleichungen aufstellen, die die Länge einer Seite des Dreiecks mit den Koordinaten der beiden Endpunkte der Seite in Verbindung stellen.
Dafür schaut man sich zum Beispiel zuerst Seite an:
ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, damit kann man jetzt den Satz des Pythagoras aufstellen:
Genauso kann man auch die Gleichung für aufstellen:
Umformung: ^2
Die Koordinaten von sind gegeben, ,
Die Koordinaten von sind in Abhängigkeit von gegeben, ,
Als Nächstes setzt man für und die Werte in Abhängigkeit von aus der Aufgabenstellung ein:
- für setzt man ein
- für setzt man ein
Wie man sieht, steht am Ende fast das Gleiche auf beiden Seiten der Gleichung. Alle Punkte liegen also ungefähr bei .
Details anzeigen
Eine andere Möglichkeit ist, Vektoren zu benutzen.
Dreht man den Vektor um (also um im Uhrzeigersinn) und verdoppelt seine Länge, so erhält man den Vektor . Damit kann man dann den Vektor berechnen, von dem man die Koordinaten aller Punkte ablesen kann.
Um um zu drehen, nutzt man eine Drehmatrix.
Diese stellt man mithilfe folgender Formel auf:
Man setzt jetzt also für und für ein:
einsetzen
Multiplikation der Drehmatrix mit dem Vektor
Multipliziert man diesen gedrehten Vektor jetzt mit , erhält man :
Den Vektor berechnet man jetzt, indem man zu den Vektor addiert:
Jeder Punkt liegt also ungefähr bei .
Für das Dreieck gilt: .
Berechnen Sie die –Koordinate des Punktes .
Lösung anzeigen
- Die Strecke und die Gerade haben dieselbe Steigung
- Stelle damit eine Gleichung auf (nutze auch die Koordinaten aus Teilaufgabe c)
- Löse die Gleichung nach auf
Die Strecke ist parallel zur Gerade .
Das heißt, dass die Steigung der Strecke gleich der Steigung der Gerade ist:
Umformung: \cdot \ (1,87x - 1,27)
Umformung: +1,23x + 0,635
Umformung: :2,165
Da und von demselben abhängen, ist die x-Koordinate des Punktes ca. .