Für Trapeze mit den parallelen Seiten und [] gilt:
; = 90°; .
Die Winkel haben das Maß mit ]90°; 180°[.
Die Zeichnung zeigt das Trapez für .
Zeigen Sie, dass für die Längen der Strecken und in Abhängigkeit von gilt:
und
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Zeichne eine Skizze der Aufgabe oder nutze die Skizze in der Aufgabenstellung.
Zeichne die Strecke senkrecht zu (das Lot).
In diesem rechtwinkligen Dreieck lassen sich und berechnen.
Der Winkel in diesem rechtwinkligen Dreieck lässt sich ausdrücken durch .
Wir zeichnen die Strecken senkrecht zu den Strecken . Die Schnittpunkte sind . Die entstehenden Dreiecke sind rechtwinklig.
Die entstehenden Vierecke sind Rechtecke und somit gilt cm. Dazu gilt , weil die Seite doppelt so lang ist, wie .
Seiten
In den Dreiecken gilt:
Wir ersetzen durch 3 und durch :
Seiten
In den Dreiecken gilt auch:
Wir ersetzen durch , durch 3, und durch:
Die Trapeze rotieren um die Gerade . Berechnen Sie für den Oberflächeninhalt des entstehenden Rotationskörpers.
Lösung anzeigen
Durch das Rotieren entsteht ein Körper, der sich aus einem Zylinder und einem Kegel darauf zusammensetzt.
Verwende die Seiten und aus Teilaufgabe (a) und berechne die Oberfläche.
Beachte, dass die Grundseite des Kegels und der Deckel des Zylinders nicht zur Oberfläche gehören.
Durch das Rotieren der Dreiecke entstehen Kegel mit den Mantellinien und dem Radius der Grundfläche .
Durch das Rotieren der Rechtecke entstehen Zylinder mit den Höhen und Radius der Grundflächen .
Oberflächeninhalt des entstehenden Rotationskörpers:
Einsetzen von und