Das rechtwinklige Dreieck mit der Hypotenuse ist die Grundfläche der Pyramide (siehe Skizze).
Die Spitze liegt senkrecht über dem Punkt .
Es gilt: .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide , wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: .
Bestimmen Sie sodann rechnerisch die Länge der Strecke und das Maß des Winkels . Ergebnisse:
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Teilaufgabe a
Zeichnen des Schrägbildes
Das Schrägbild ist eine genaue Zeichnung der Pyramide. In der Angabe steht, dass die Strecke auf der Schrägbildachse liegt. Das bedeutet auf der Zeichenebene. Der Punkt liegt senkrecht über dem Punkt und somit liegt das Dreieck genau auf der Zeichenebene. Zeichne dies zuerst, indem du die bekannten Strecken und einzeichnest und die Punkte und verbindest.
Jetzt fehlt nur noch der Punkt und die entsprechenden Verbindungen dazu. Dazu benötigst du die Angabe, dass . Das bedeutet, die Strecke , die in Wirklichkeit einen Winkel zur Strecke bildet, wird perspektivisch verzerrt in einem Winkel nach rechts hinten gezeichnet.
Dabei entspricht immer eine Kästchendiagonale einem Zentimeter. Du musst also die lange Strecke Kästchendiagonalen lang zeichnen.
Länge der Strecke
Um die Länge der Strecke zu bestimmen, nutzt du am besten das rechtwinklige Dreieck . Stelle für dieses Dreieck den Satz des Pythagoras auf, dabei ist die Strecke die Hypotenuse.
Löse nach auf, indem du die Wurzel ziehst.
Setze die gegebenen Werte ein und rechne aus.
cm
Größe des Winkels
Die Größe des Winkels kannst du durch die trigonometrischen Formeln im rechtwinkligen Dreieck berechnen.
Als Erstes ordnest du die Begriffe Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete bezüglich zu:
ist die Hypotenuse, ist die Ankathete und ist die Gegenkathete.
Nun wählst du dir eine der drei Formeln Sinus, Kosinus und Tangens aus.
Hier wird es beispielsweise mit Tangens berechnet:
Setze nun die Werte ein.
Nutze nun um zu bestimmen.
Der Winkel ist .
Für Punkte auf der Strecke gilt: mit und . Die Punkte sind Eckpunkte von Rechtecken mit und .
Zeichnen Sie das Rechteck für in das Schrägbild zur Teilaufgabe a) ein.
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecken in Abhängigkeit von und ermitteln Sie rechnerisch den Wert für , für den man das Quadrat erhält.
Ergebnis:
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Teilaufgabe b
Versuche, dir die Aufgabenstellung so zu verdeutlichen, dass du es dir in der Zeichnung vorstellen kannst.
- Punkt liegt irgendwo auf der Strecke zwischen und () Dabei gilt: . Das bedeutet: Der Abstand vom Punkt zum Punkt beträgt . Im ersten Fall mit ist er also von entfernt.
- Zeichne diesen Punkt in dein Schrägbild ein!
- Punkt liegt auf der Strecke und liegt auf der Strecke . Genaue Punkte kennst du allerdings noch nicht. Schaue dir dazu die nächste Bedingung an!
- Soll insgesamt ein Rechteck ergeben. Das bedeutet: Es gibt nur rechte Winkel in diesem Viereck und die gegenüberliegenden Seiten sind jeweils gleich lang. Da du eine Seite schon kennst, kannst du auch sofort bestimmen.
- Um nun die fehlenden Punkte herauszufinden, musst du eine Parallelverschiebung der Strecke machen, bis die parallele Strecke im Punkt liegt.
Bestimmung der Strecke Zeichne dir dafür am besten eine kleine Skizze, wie das Dreieck mit eingezeichnetem Viereck aussehen würde.
Beschrifte nun die Strecken auf der rechten Seite. Du weißt, dass und dass .
Betrachte nun das rechtwinklige Dreieck . Den Winkel kannst du leicht berechnen und du kennst die Strecke . Aus diesem Grund kannst du mithilfe des Tangens die Strecke berechnen, welche genau ist.
Der ergibt sich aus dem rechtwinkligen Dreieck zu
Also erhältst du:
Du kannst nun die Gleichung nach lösen:
Die Strecke beträgt also: .
Im nächsten Schritt sollst du diese Länge berechnen, wenn das Rechteck ein Quadrat wird. Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang. In unserem Fall gilt also:
Löse diese Gleichung nun nach auf.
Mit entsteht ein Quadrat .
Berechnen Sie den Flächeninhalt der Rechtecke in Abhängigkeit von .
Bestimmen Sie sodann den Wert für , für den der Flächeninhalt der Rechtecke maximal wird.
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Teilaufgabe c
Der Flächeninhalt von ergibt sich aus dem Produkt der Länge und der Breite des Rechtecks.
Der Graph der Funktion ist eine umgekehrte Parabel (siehe Abbildung rechts). Um das Maximum zu finden, musst du den Scheitelpunkt dieser Funktion berechnen.
Um auf die Scheitelpunktform von zu kommen, musst du die quadratische Ergänzung anwenden.
Klammere dazu zuerst den Faktor vor dem aus.
Ergänze nun den Term in der Klammer, um auf die zweite binomische Formel zu kommen.
Der x-Wert des Scheitelpunktes ist die Nullstelle der Klammer.
In diesem Fall wäre das . Damit erhältst du das Maximum des Flächeninhalts bei .
Der Punkt liegt auf der Strecke mit . ist die Spitze von Pyramiden mit den Rechtecken als Grundflächen und der Höhe .
Zeichnen Sie die Pyramide und der Höhe in das Schrägbild zur Teilaufgabe a) ein.
Zeigen Sie sodann, dass gilt:
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Teilaufgabe d
In das Schrägbild aus Teilaufgabe soll nun ein weiterer Punkt eingezeichnet werden. Dieser liegt auf der Strecke im Abstand von zu .
Der Punkt ist nun die Spitze einer neuen Pyramide, mit der Grundfläche . Zeichne die Seitenkanten der Pyramide in das Schrägbild ein.
Die Höhe dieser neuen Pyramide wird mit bezeichnet. Sie steht senkrecht auf die Strecke .
Im Folgenden soll nun diese Höhe berechnet werden. Betrachte dazu die Skizze:
direkt zu berechnen ist leider nicht ohne weiteres möglich, allerdings können wir eine Hilfslinie ziehen um die Differenz zwischen Höhe und der Seitenlinie zu berechnen.
Diese Hilfslinie (wir nennen sie hier wurde in der folgenden Skizze eingezeichnet.
Beachte, dass sich der Winkel aus dem Dreieck sich hier im rechtwinkligen Dreieck wiederfindet. Berechne nun über den Sinus von die Länge der Strecke .
In der Zeichnung siehst du, dass die Höhe dieselbe Länge hat wie die Strecke . Um nun also auf die Höhe zu kommen, kannst du rechnen:
Damit bestätigst du das Ergebnis aus der Angabe. Die Höhe ist lang.
Begründen Sie, dass für das Maß der Winkel gilt: .
Berechnen Sie anschließend die untere Intervallgrenze für .
Teilergebnis:
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Teilaufgabe e
Vom Dreieck hast du bereits einen Winkel, nämlich gegeben. Wenn der dritte Winkel jetzt also sehr klein wird, dann erreicht der Winkel sein Maximum.
Dieses Maximum erhältst du über die Innenwinkelsumme des Dreiecks und die Annahme, dass der Winkel annähernd wird.
Die untere Intervallgrenze erhältst du, wenn genau auf liegt. Denn so wird der Winkel am kleinsten.
Die Größe des Winkels
Mit dem Kosinussatz folgt dann:
Dabei ist
