Die Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide , deren Grundfläche das Quadrat ist.
Die Spitze der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Strecke .
ist der Mittelpunkt der Strecke .
Es gilt:
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide , wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll.
Für die Zeichnung gilt:
Berechnen Sie sodann die Höhe der Pyramide und die Länge der Strecke .
Ergebnisse:
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Teilaufgabe a
Schrägbild der Pyramide ABCDS:
- (Schrägbildachse)
- , da wir den Verkürzungsfaktor haben. Beide liegen in zu .
(oder: )
- , da die Spitze senkrecht über liegt.
- Die beiden Geraden (bzw. Halbgeraden) schneiden sich in Punkt .
- Verbinde nun alle Eckpunkte der Pyramide.
Die Höhe der Pyramide und die Länge :
Im rechtwinkligen Dreieck MNS können wir mithilfe der Trigonometrie berechnen:
Bemerkung: Wir können alternativ mit dem Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck berechnen.
Punkte auf der Strecke mit und und sind die Spitzen von Pyramiden . Punkte sind die Fußpunkte der Pyramidenhöhen.
Zeichnen Sie für die Pyramide zusammen mit ihrer Höhe [] in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein. Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels
Teilergebnis:
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Teilaufgabe b
Pyramide mit :
Da ist, ist .
Einzeichnen von
- liegt auf , da die Grundfläche , als auch die Seitenfläche gleichschenklige Dreiecke und und Symmetrieachsen sind.
- Fälle ein Lot von auf , der Schnittpunkt ist der Fußpunkt der Höhe der Pyramide.
Das Maß des Winkels im Dreieck mit Hilfe der Trigonometrie:
im Dreieck mit dem Kosinussatz:
In der Musterlösung wird mit einem gerundeten Ergebnis gerechnet, daher kommt hier heraus, genauer wäre allerdings .
Wir rechnen dennoch mit weiter.
Zeigen Sie, dass für das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von gilt:
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Teilaufgabe c
Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von x:
Höhe der Pyramide im rechtwinkligen Dreieck mit der Trigonometrie:
Umformung: \cdot\left(13,95cm-x\right)
Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Werte von das zugehörige Volumen der Pyramiden mehr als des Volumens der Pyramide beträgt.
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Teilaufgabe d
Der Wert x, bei dem das mehr als des beträgt:
Das Volumen der Pyramide (mit ):
Wenn das Volumen von mehr als betragen soll, ist
.
Umformung: -121,92
Umformung: :\left(-8,75\right)
Teilung durch eine negative Zahl --> "das Ungleichheitszeichen dreht sich um"
Unter den Punkten hat der Punkt die kürzeste Entfernung zu .
Zeichnen Sie die Pyramide in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [] sowie den zugehörigen Wert für .
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Teilaufgabe e
Zeichnung der Pyramide :
- [] ist die kürzeste Entfernung, folglich steht sie senkrecht auf .
- Der Schnittpunkt der Lotgeraden auf ist die Spitze .
- Von wird ebenfalls ein Lot auf gezeichnet: (siehe nächstes Bild) ist der Fußpunkt der Pyramide.
- Verbindung aller Eckpunkte (siehe nächstes Bild).
Die Länge der Strecke im rechtwinkligen Dreieck mit der Trigonometrie:
Umformung: \cdot8\;\text{cm}
Die Länge der Strecke mit dem zugehörigen Wert im rechtwinkligen Dreieck mit der Trigonometrie:
Umformung: \cdot8
Kürze die .
Umformung: -13,95
Umformung: \cdot\left(-1\right)
Bemerkung: alternativ kann man hier den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck verwenden.