Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung . Im Koordinatensystem ist für der Graph zu eingezeichnet.
Zeichnen Sie für den Graphen zu in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein und geben Sie die Wertemenge von an.
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Bestimmung der Definitions- und Wertemenge sowie Zeichung des Graphen der Exponentialfunktion
geg.: ≙ nach Umformung des Exponenten
ges.: Definitionsmenge und Wertemenge; Graph zu
Ansatz und Rechnung:
Definitionsmenge: In den Funktionsterm können alle reellen Zahlen eingesetzt werden, nur darf der nenner nicht Null werden. Das würde für geschehen. Daher ist
Wertebereich: der Bruch kann alle reellen Zahlen außer den Wert Null annehmen. Daher ist .
Zeichnung mithilfe https://rechneronline.de/funktionsgraphen/
Punkte mit der Abszisse liegen auf dem Graphen zu mit .
Sie legen mit Punkten und Quadrate fest.
Die x-Koordinate der Punkte ist um 2 größer als die Abszisse der Punkte , die y-Koordinate der Punkte ist um 1 größer als die -Koordinate der Punkte Zeichnen Sie die Quadrate für und für
in das Koordinatensystem zu 2.0.
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Berechnung der Koordinaten der Eckpunkte der Quadrate:
Quadrat :
- (x|) für :
- Die x-Koordinaten der Punkte sind um zwei größer:
- Die y-Koordinaten der Punkte sind um eins größer:
So erhalten wir die Punkte und .
- Wir können nun die Punkte und in das Koordinatensystem eintragen und verbinden.
- Da es sich um ein Quadrat handelt wissen wir, dass alle Seiten gleich lang sind.
- Wir können folglich zwei senkrechte Linien zur Strecke [] durch die Punkte und zeichnen (siehe Bild).
- Anschließend nehmen wir die Strecke in den Zirkel und übertragen die Länge auf die beiden Halbgeraden: () und
- Die Schnittpunkte der Kreise und der Senkrechten sind die Eckpunkte und .
Quadrat : Wir gehen wie oben vor.
Lösungsweg
- für :
- Die x-Koordinaten der Punkte sind um zwei größer:
- Die y-Koordinaten der Punkte sind um eins größer:
So erhalten wir die Punkte und .
Begründen Sie, weshalb alle Quadrate den gleichen Flächeninhalt haben, und geben Sie diesen an.
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Flächeninhalt A der Quadrate :
Die Länge aller Seiten der Quadrate ist konstant. Damit haben alle Quadrate den gleichen Flächeninhalt.
Die Seite [] können wir über das Dreieck (siehe rechte Abbildung) mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
Es ist .
Entsprechend gilt:
Nun können wir den Flächeninhalt berechnen:
Für alle Quadrate gilt:
Zeigen Sie, dass für die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt: .
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Bestimmung der Einzelvektoren und der Vektorkette
geg.:
Nach Aufgabenstellung A 2.b ist bekannt: und
Viereck ist ein Quadrat alle Seiten sind gleich lang und stehen aufeinander senkrecht.
ges.: Nachweis, dass
Ansatz und Rechnung:
Vektoraddition:
Veranschaulichung siehe Skizze:
Bestimmung der Vektoren:
1.
Spitze minus Fuß
2. mit und siehe Aufgabenstellung A 2.b
3. ist orthogonal zu und um (d.h. nach links) gedreht
gemäß Links-Kippregel wird Vektor zu
mit
mit
q.e.d.
Der Punkt des Quadrats liegt auf der –Achse. Geben Sie die Koordinaten des Punktes an.
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Koordinaten des Punktes des Quadrates für :
Wir kennen die Koordinaten von .
Die x-Koordinate wird 0, wenn ich für einsetze :
Umformung: -4