Der Punkt ist gemeinsamer Eckpunkt von gleichschenkligen Dreiecken
mit den Schenkeln und .
Die Mittelpunkte der Schenkel liegen auf der Geraden
mit der Gleichung . Es gilt: .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie die Gerade sowie die Dreiecke für und für
in ein Koordinatensystem ein.
(Maße des Koordinatensystems: und )
Lösung anzeigen
Einzeichnen der Geraden sowie der Dreiecke für und für
Zeichne , den Punkt und den Punkt ein.
Die Mittelpunkte der Schenkel liegen auf der Geraden .
Die x-Koordinate von ist
.
Der Punkt liegt auf der Geraden g.
Konstruktion des Dreiecks
Konstruktion des Punktes .
Zeichne eine Halbgerade beginnend im Punkt durch den Punkt .
Der Punkt ist der Mittelpunkt der Strecke . Deshalb wird für die Konstruktion des Punktes die Strecke mithilfe des Zirkels abgetragen. Dabei wird der Zirkel so eingestellt, dass er den Radius hat. Stich in den Punkt ein und ziehe einen Kreisbogen um . Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit der Halbgeraden ist der Punkt .
Konstruktion des Punktes .
Zeichne den Winkel im Punkt ein. Es entsteht eine zweite Halbgerade.
Stelle den Zirkel so ein, dass er den Radius hat. Stich in den Punkt ein und ziehe einen Kreisbogen um .
Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit der zweiten Halbgeraden ist der Punkt .
Verbinde mit .
Das Dreieck ist konstruiert.
Die Abbildung zeigt das konstruierte Dreieck .
Nach dem gleichen Schema wird das Dreieck für konstruiert.
Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken gilt: .
Lösung anzeigen
Zwischen den Strecken und soll die Beziehung gelten.
Eine trigonometrische Funktion bezieht sich auf Strecken in einem rechtwinkligen Dreieck. Hier handelt es sich aber um ein gleichschenkliges Dreieck ohne rechten Winkel.
Zeichnet man die Höhe über der Basis in das Dreieck ein, so teilt diese das gleichschenklige Dreieck in zwei gleich große rechtwinkelige Dreiecke.
Dabei sind die Strecken und gleich groß und halb so groß wie die Strecke . Die Höhe halbiert auch den Winkel .
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
Es ist
Umformung: \cdot\overline{A_nC_n}
Umformung: :\sin(0,5\cdot 35^\circ)
Also ergibt sich:
Unter den Dreiecken hat das Dreieck die kürzesten Schenkel.
Berechnen Sie die Koordinaten des zugehörigen Mittelpunktes des Schenkels .
Lösung anzeigen
Damit das Dreieck die kürzesten Schenkel hat, muss der Vektor senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden stehen.
Es muss also gelten:
Für den Vektor folgt:
Der Richtungsvektor der Geraden wird über die Steigung der Geraden ermittelt:
Setze die beiden Vektoren ein.
Berechne das Skalarprodukt.
Löse die Klammern auf.
Fasse zusammen.
Umformung: +2,6
Löse nach auf.
Umformung: :1,16
Es ist (gerundet auf zwei Stellen nach dem Komma):
Die -Koordinate vom Punkt erhältst du, indem in die Geradengleichung eingesetzt wird:
Damit ergibt sich: