Ein großer Bergbauernhof bietet seinen Gästen während ihres Urlaubsaufenthalts verschiedene Möglichkeiten an, das Leben auf dem Land zu genießen. Erfahrungsgemäß entscheiden sich die Hälfte aller Gäste auf einer der einsamen Hütten (H) zur Ruhe zu kommen, 30% verbringen ihren Aufenthalt im gemütlichen Stadl (S) und die übrigen Besucher übernachten im Bauernhaus (B). Bei der Anreise hat jeder Gast die Wahl, den steilen Weg bis zum Feriendomizil zu Fuß zurückzulegen () oder sich von einem Traktorshuttle (T) nach oben befördern zu lassen. Von den Hüttenbewohnern nutzen nur ein Viertel diesen Service, bei den Stadlgästen sind es die Hälfte, und von den Gästen im Bauernhaus erklimmt keiner zu Fuß den Berg. Für Stadlgäste und Gäste des Bauernhauses besteht zusätzlich die Möglichkeit ein Frühstück (F) dazu zu buchen. Jeweils ein Fünftel der Gäste nutzen dieses Angebot nicht, unabhängig davon, ob der Shuttleservice in Anspruch genommen wird oder nicht. Hüttenbewohner können kein Frühstück buchen. Die Befragung eines zufällig ausgewählten Gastes nach seinen getätigten Buchungen wird als Zufallsexperiment aufgefasst.
Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments.
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- Verwende die vorgegeben Buchstaben. Die Reihenfolge der Angaben gibt dir einen Hinweis auf die Reihenfolge im Baum: Zuerst kommen die drei Unterbringungsarten, dann die zwei Transportarten und dann bei manchen Ästen noch die Frühstücksbuchung.
- Die erste Stufe besteht also aus H, S und B. Auf der zweiten Stufe unterscheidest du den Transport und . Nur bei Pfaden, die mit S oder B starten, ergänzt du dann noch und für das Frühstück.
- Auf der ersten Stufe benötigst du das Wissen, dass die Summe der Pfadwahrscheinlicheiten 1 ergibt, ebenso bei der zweiten Stufe.
- Bei der dritten Stufe kommt die wichtige Information "unabhängig davon, ob der Shuttleservice in Anspruch genommen wird" vor. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit an mehreren Pfaden eingetragen werden kann.
- Vergiss nicht am Ende mit der 1. Pfadregel die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse zu berechnen.
Aufbau des Baums
Entsprechend der Reihenfolge im Text (und ein bisschen spicken bei der nächsten Teilaufgabe) ist der Baum wie folgt aufzubauen: erst die Unterbringung, dann der Transport und zuletzt das Frühstück.
Das Frühstück ist dabei nicht für Hüttenbesucher buchbar, deshalb benötigst du dort die Äste nicht.
Es entstehen, je nach deiner Präferenz, zwei mögliche Bäume, die beide später zum korrekten Ergebnis führen können:
Wahrscheinlichkeiten
Aus dem Text kannst du herauslesen, dass...
- ..., also die Hälfte eine Hütte buchen
- ..., also 30% das Stadl buchen
- ..., also ein Viertel der Hüttengäste das Shuttle nehmen
- ..., also die Hälfte der Stadlgäste das Shuttle nehmen
- , also kein Bauernhausgast zu Fuß geht
- ...sowohl bei den Stadtl- und Bauernhausgästen, die mit dem Shuttle anreisen als auch bei den Fußgängern kein Frühstück buchen (als Wahrscheinlichkeit wäre das beziehungsweise )
Ergänzt du überall so, dass die Wahrscheinlichkeiten, die von einem Knoten ausgehen, immer in Summe 1 ergeben, so ergibt sich folgender Baum:
Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse
Berechne die Wahrscheinlichkeiten mithilfe der 1. Pfadregel, indem du die Teilwahrscheinlichkeiten multiplizierst.
Die Summe aller Elementarereigniswahrscheinlichkeiten ergibt 1.
Gegeben sind folgende Ereignisse:
"Ein Gast entscheidet sich gegen den Aufstieg zum Bergbauernhof."
Geben Sie in aufzählender Mengenschreibweise an und berechnen Sie . Fassen Sie möglichst einfach in Worte und untersuchen Sie und auf Unvereinbarkeit.
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- Wähle für den ersten Teil der Frage alle Pfade, in denen T vorkommt (und nicht und schreibe diese in eine geschweifte Klammer, so wie du es bei siehst.
- Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, addierst du alle zugehörigen Wahrscheinlichkeiten aus der letzten Teilaufgabe.
- Überlege dir zuerst, welche Gemeinsamkeit dir bei den drei Buchstabenfolgen auffällt. Überlege dann mit Blick auf das Baumdiagramm, wie das Ereignis möglichst einfach formuliert werden kann.
- Unvereinbar sind zwei Mengen dann, wenn sie kein gemeinsames Element enthalten. Du hast jetzt beide Mengen in aufzählender Mengenschreibweise. Untersuche Sie auf mindestens ein Element, das in beiden Mengen vorkommt.
in aufzählender Mengenschreibweise
Gesucht sind alle Ereignisse/ alle Buchungen, bei denen der Gast das Traktorshuttle (T) verwendet.
Du kannst Pfade mit der Wahrscheinlichkeit 0 weglassen, da es sich dabei um unmögliche Ereignisse handelt.
Damit ergibt sich:
Wahrscheinlichkeit von
Addiere alle Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse aus der Menge oben.
in Worten
die einzige Gemeinsamkeit aller drei Ereignisse ist, dass ein Frühstück bestellt wird. Beim Blick auf die Wahrscheinlichkeiten fällt auf, dass es sich genau um die Ereignisse mit einem Frühstück handelt, die wirklich auftreten (also eine Wahrscheinlichkeit von mehr als 0% haben).
Eine mögliche Formulierung: umfasst alle tatsächlich auftretenden Befragungsergebnisse, bei denen der Gast ein Frühstück wählt.
Unvereinbarkeit
Sowohl STF als auch BTF sind in der Menge und in der Menge . Deshalb sind die Mengen nicht unvereinbar und es gilt:
Die Mengen sind vereinbar