Gegeben sind die beiden Funktionen und mit .
Berechne das Flächenstück oberhalb der x-Achse, das von den Graphen der beiden Funktionen und begrenzt wird.
Lösung anzeigen
Schnittpunkte berechnen
Setze die beiden Funktionen gleich, um ihre Schnittstellen zu erhalten.
Umformung: \cdot a
Bringe alle Terme mit auf eine Seite.
Umformung: +a^2x^2
Umformung: -a^2
Klammere auf der linken Seite aus. Klammere auf der rechen Seite aus.
Umformung: :(a^2-1)
Da ist, kann durch geteilt werden.
Kürze.
und
Setze und z.B. in ein, um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu erhalten.
Flächenbestimmung mit Integralen
Die beiden Funktionen und sind symmetrisch zur y-Achse.
Es ist und . Wegen ist die obere Funktion.
Der Flächeninhalt wird berechnet, indem über die Differenzfunktion integriert wird.
Der gesuchte Flächeninhalt kann wegen der Symmetrie zur y-Achse in zwei gleich große Teilflächen aufgeteilt werden.
Setze ein.
Setze die Grenzen ein. Ziehe die untere Grenze von der oberen Grenze ab.
Vereinfache.
Klammere aus.
Die eingeschlossene Fläche zwischen den beiden Funktionen beträgt:
Wie groß ist der eingeschlossene Flächeninhalt, wenn ist?
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Es ist .
Setze ein.
Vereinfache.
Kürze mit .
Der eingeschlossene Flächeninhalt zwischen und beträgt .
Die folgende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
