Gegeben sind die Eckpunkte einer Pyramide , , , , und die Gleichung einer Ebene . Die Pyramide wird von der Ebene geschnitten.
Zeige, dass die Schnittfläche zwischen Pyramide und Ebene ein gleichschenkliges (symmetrisches) Trapez ist.
Lösung anzeigen
Erstelle die Geradengleichungen für die vier Pyramidenkanten und schneide sie jeweils mit der Ebene , um die Eckpunkte der Schnittfläche zu erhalten.
Die folgende Skizze (nicht maßstabsgetreu) verdeutlicht die Aufgabenstellung und dient zur Orientierung bei der Benennung der Pyramidenpunkte.
Berechne die Gleichungen der Pyramidenkanten
Kürze den Richtungsvektor mit Faktor :
Kürze den Richtungsvektor mit Faktor :
Kürze den Richtungsvektor mit Faktor :
Kürze den Richtungsvektor mit Faktor :
Schneide die Geraden jeweils mit der Ebene
:
Setze und ein.
Umformung: :20
Setze in ein, um die Koordinaten des Schnittpunktes mit der Ebene zu erhalten:
Setze ein.
Vereinfache.
Damit hat der Punkt die Koordinaten .
:
Setze und ein.
Umformung: :20
Setze in ein, um die Koordinaten des Schnittpunktes mit der Ebene zu erhalten:
Setze ein.
Vereinfache.
Damit hat der Punkt die Koordinaten .
Setze und ein.
Umformung: -12
Umformung: :16
Setze in ein, um die Koordinaten des Schnittpunktes mit der Ebene zu erhalten:
Setze ein.
Vereinfache.
Damit hat der Punkt die Koordinaten .
Setze und ein.
Umformung: -12
Umformung: :16
Setze in ein, um die Koordinaten des Schnittpunktes mit der Ebene zu erhalten:
Setze ein.
Vereinfache.
Damit hat der Punkt die Koordinaten .
Die Schnittfläche
Die Punkte und haben die gleiche -Koordinate und die Punkte und haben die gleiche -Koordinate .
Berechne die Vektoren und
Damit folgt:
Die beiden Vektoren sind ungleich lang:
Berechne die Vektoren und :
Die Vektoren sind nicht parallel zueinander:
Aber die beiden Vektoren sind gleich lang:
Somit haben wir zwei ungleich lange parallele Vektoren und und zwei gleich lange, aber nicht parallele Vektoren und .
Die geometrische Figur kann demnach nur ein gleichschenkeliges (symmetrisches) Trapez und kein Parallelogramm sein.
Berechne den Flächeninhalt des Trapezes.
Lösung anzeigen
Für die Trapezfläche gilt:
Die Längen der beiden parallelen Seiten wurden in Aufgabe a) berechnet:
und
Die Länge der Seite .
Die Höhe des Trapezes muss noch berechnet werden:
Die Höhe kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.
Dazu muss erst die Länge der Seite x berechnet werden:
Dann gilt:
Setze , und ein.
Der Flächeninhalt des Trapezes beträgt etwa .
Die folgende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
