Gegeben sind die beiden Funktionsgleichungen , mit und
.
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Bilde die Differenzfunktion und berechne deren Nullstellen. Du erhältst eine quadratische Gleichung. Bei einem Berührpunkt darf es nur eine (doppelte) Nullstelle geben. Die Forderung nach nur einer Nullstelle bedeutet, dass die Diskriminante der quadratischen Gleichung gleich null ist.
Berechne die Nullstellen:
Du erhältst die quadratische Gleichung .
Berechne die Diskriminante und setze :
Vereinfache.
Umformung: +4
Umformung: :(-20)
Für haben die Graphen von und einen Berührpunkt.
Die Funktionsgleichung von lautet dann:
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Gib auch die Gleichung der Tangente an.
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Tangente und Graph von oder haben im Punkt die gleiche Steigung.
Das ist auch die Tangentensteigung .
Weiterhin ist der Berührpunkt bekannt.
Der Berührpunkt hat die Koordinaten .
Für die Tangentensteigung berechne (oder ):
Die Tangentensteigung beträgt .
Die allgemeine Tangentengleichung lautet:
Setze ein:
Setze ein.
Umformung: -0,64
Die Tangente hat die Gleichung:
Die folgende graphische Darstellung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
