Finde die Gleichung eines Kreises um den Ursprung, der die Gerade berührt.
Lösung anzeigen
Erstelle eine zu senkrechte Gerade durch den Ursprung. Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der gesuchte Berührpunkt . Mit diesem Berührpunkt kann die Kreisgleichung aufgestellt werden.
Der Richtungsvektor der Geraden ist der Vektor .
Der Richtungsvektor der Geraden soll senkrecht zur Geraden sein
Berechne das Skalarprodukt.
Der Vektor ist der gesuchte Richtungsvektor der Geraden .
Da durch den Ursprung verläuft, gilt:
Der Schnittpunkt von g und h ist der gesuchte Berührpunkt:
Es ergeben sich zwei Gleichungen:
Beseitige :
Aus der Gleichung .
Alternative Lösung des Gleichungssystems
Multipliziere die Gleichung
skalar mit und beachte, dass das Skalarprodukt von und Null ist.
Dann bleibt , also und damit wie oben .
Berechne die Koordinaten des Berührpunktes:
Setze ein.
Der Berührpunkt hat die Koordinaten .
Dieser Punkt muss die Kreisgleichung durch den Ursprung erfüllen.
Setze ein.
Berechne die Quadrate.
Fasse zusammen
Die gesuchte Kreisgleichung lautet:
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
