Gegeben sind zwei Funktionen und durch:
und
Die Graphen und der beiden Funktionen und haben zwei gemeinsame Punkte und .
Zeige, dass nur einer der beiden Punkte ein Berührpunkt ist.
Lösung anzeigen
Ein Berührpunkt ist ein gemeinsamer Punkt zweier Funktionsgraphen, an dem die Funktionen die gleiche Steigung haben.
Bei einem Berührpunkt muss immer gelten:
Die Bedingung ist bei beiden gegebenen Punkten laut Aufgabenstellung erfüllt:
und
Es muss nun die Bedingung für beide Punkte überprüft werden.
Berechne zunächst die Ableitungen der beiden Funktionen:
Überprüfe jetzt die beiden Punkte und
Überprüfung für den Punkt :
Zunächst wird in eingesetzt:
Setze ein.
Nun wird in eingesetzt:
Setze ein.
Erweitere auf den Hauptnenner .
Fasse zusammen.
Für gilt .
Damit ist auch die Bedingung erfüllt und an der Stelle liegt ein Berührpunkt vor.
Der Punkt ist somit ein Berührpunkt.
Überprüfung für den Punkt :
Zunächst wird in eingesetzt:
Setze ein.
Nun wird in eingesetzt:
Setze ein.
Bringe auf den Hauptnenner .
Fasse zusammen.
Kürze mit .
Für gilt und , d.h. .
Damit ist die Bedingung nicht erfüllt und an der Stelle liegt kein Berührpunkt vor. Der Punkt ist somit ein Schnittpunkt.