Berechne die Koordinaten des Berührpunktes der beiden Parabeln, deren Funktionsgleichungen und gegeben sind:
und .
Lösung anzeigen
Die Graphen zweier Funktionen und haben einen Berührpunkt an der Stelle , wenn sie an dieser Stelle den gleichen Funktionswert und die gleiche Ableitung haben.
Es muss gelten: (gleiche Funktionswerte)
und (gleiche Ableitungen)
Die einfachere der beiden Gleichungen oder wird nach aufgelöst. Dann muss noch geprüft werden, ob dieses auch die andere Gleichung erfüllt.
Ist dies der Fall, können die Koordinaten des Berührpunktes angegeben werden: bzw.
Ableitungen berechnen
Berechne zunächst die Ableitungen von und . Beachte dabei die Kettenregel.
Gleichungen aufstellen
Stelle berechnen
Die einfachere der beiden Gleichung ist Gleichung . Sie wird nach aufgelöst.
Löse die Klammern auf.
Umformung: +18
Löse nach auf.
Umformung: -2x_B
Umformung: :4
An der Stelle liegt ein möglicher Berührpunkt vor.
Probe, ob der Berührpunkt ist
Prüfe nun, ob Gleichung erfüllt ist.
Setze ein.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Gleichung ist erfüllt.
Graphische Darstellung
Die folgende graphische Darstellung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
