An die Funktion soll vom Punkt aus eine Tangente gelegt werden. Bestimme die Gleichung der Tangente und den Berührpunkt.
Lösung anzeigen
Allgemeine Bedingung für einen Berührpunkt
Die Tangente und der Graph der Funktion haben einen gemeinsamen Punkt, den Berührpunkt .
Für den Berührpunkt gelten die Bedingungen:
und
Aufgrund des Verlaufs des Graphens von kann es nur einen Berührpunkt geben.
Dieser Berührpunkt hat die Koordinaten .
Stelle die Tangentengleichung auf.
Sie hat die allgemeine Form:
Der Punkt liegt auf der Tangente. Setze seine Koordinaten in die Tangentengleichung ein.
Es ist also .
Für die Steigung der Tangente gilt:
Damit ist Bedingung erfüllt.
Die Ableitung der ln-Funktion ist .
Für den Berührpunkt gilt dann:
Die Tangentengleichung lautet somit:
Setze die Koordinaten des Berührpunktes in die Tangentengleichung ein, um zu erhalten:
Setze ein.
Kürze.
Vereinfache.
Umformung: :3
Löse nach auf.
Umformung: e^{()}
Die Tangentengleichung lautet somit:
Berechne die y-Koordinaten des Berührpunktes
Setze in die Tangentengleichung und in die Funktionsgleichung ein, um den -Wert des Berührpunktes zu erhalten und um zu sehen, ob Bedingung erfüllt ist.
Tangentengleichung
Setze ein.
Kürze.
Fasse zusammen.
Funktionsgleichung
Setze ein.
Wende ein Logarithmusgesetz an.
Kürze. .
Sowohl die Tangentengleichung als auch die Funktionsgleichung haben den gleichen -Wert . Damit ist Bedingung erfüllt.
Der gesuchte Berührpunkt hat die Koordinaten:
Graphische Darstellung
Die folgende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
