Im Folgenden wird ein Glücksrad mit gleich großen Sektoren, die mit den Zahlen von bis durchnummeriert sind, betrachtet.
Bestimmen Sie für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dreimaligen Drehen des Glücksrads genau zwei gleiche Zahlen erzielt werden. (3 P)
Lösung anzeigen
Bei dreimaligen Drehen des Glücksrads werden genau zwei gleiche Zahlen erzielt
Es ist und es wird dreimal gedreht. Die Anzahl der Möglichkeiten Zahlen aus zu erzielen ist mit Beachtung der Reihenfolge und mit Zurücklegen .
Von den fünf Zahlen wird eine Zahl ausgewählt, die doppelt erzielt werden soll.
Möglichkeiten
Von den drei Feldern (siehe Abbildung rechts) werden zwei ausgewählt.
Möglichkeiten
Für das dritte Feld bleiben dann noch Zahlen übrig.
Möglichkeiten
Insgesamt gibt es Möglichkeiten für genau zwei gleiche Zahlen.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dreimaligen Drehen des Glücksrads genau zwei gleiche Zahlen erzielt werden, beträgt .
Das Glücksrad wird -mal gedreht. Ermitteln Sie den kleinstmöglichen Wert von , für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, kleiner als ist. (4 P)
Lösung anzeigen
Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, ist kleiner als
Bei -mal drehen hat jedes Elementarereignis die Wahrscheinlichkeit .
Wenn verschieden Zahlen untereinander vertauscht werden, gibt es Möglichkeiten.
Diese Wahrscheinlichkeit soll nun kleiner als sein.
Diese Ungleichung ist nicht elementar lösbar. Sinnvoll ist z.B. die Erstellung einer Tabelle mit dem Taschenrechner.
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
.... | .... | .... |
Für ist .
Der kleinstmöglichen Wert von , für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, kleiner als ist, ist .