Mit dem Glücksrad wird ein Spiel durchgeführt. Jeder Spieler darf das Glücksrad beliebig oft drehen. Beendet er das Spiel selbst, bevor er eine "0" erzielt, so wird ihm die Summe der erzielten Zahlen in Euro ausgezahlt. Erzielt er eine "0", so ist das Spiel dadurch beendet und es erfolgt keine Auszahlung.
Ein erster Spieler entscheidet sich vor dem Spiel dafür, das Glücksrad, sofern er keine "0" erzielt, viermal zu drehen und danach das Spiel zu beenden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er eine Auszahlung erhält. (2 P)
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Der Spieler spielt viermal. Dabei darf viermal keine "0" vorkommen.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er eine Auszahlung erhält, beträgt rund .
Bei einem zweiten Spieler beträgt nach mehrmaligem Drehen des Glücksrads die Summe der erzielten Zahlen . Er möchte nun das Spiel entweder sofort beenden oder das Glücksrad genau ein weiteres Mal drehen. Berechnen Sie für den Fall, dass sich der Spieler für die weitere Drehung entscheiden sollte, den Erwartungswert für die Auszahlung. Geben Sie eine Empfehlung ab, ob sich der Spieler für das beenden des Spiels, oder für die weitere Drehung entscheiden sollte, und begründen sie Ihre Empfehlung. (4 P)
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Die Werte der Zufallsgröße sind die Auszahlungsbeträge in .
Die Summe der erzielten Zahlen beträgt .
Er spielt noch einmal und erzielt mit einer Wahrscheinlichkeit von eine "0". Dann beträgt die Auszahlung (erste Spalte).
Er spielt noch einmal und erzielt mit einer Wahrscheinlichkeit von eine "1". Dann beträgt die Auszahlung (zweite Spalte).
Er spielt noch einmal und erzielt mit einer Wahrscheinlichkeit von eine "9". Dann beträgt die Auszahlung (letzte Spalte).
Für den Erwartungswert gilt dann:
Da bei einem weiteren Spiel der Erwartungswert mit kleiner als der bereits erspielte Gewinn von ist, sollte Spieler sofort aufhören.
Wenn sich ein Spieler vor dem Spiel dafür entscheidet, das Glücksrad, sofern er keine "0" erzielt, -mal zu drehen, dann kann der Erwartungswert für die Auszahlung mit dem Term berechnet werden. Beurteilen Sie die folgende Aussage:
Es gibt zwei, aber nicht drei aufeinanderfolgende Werte von , für die die Erwartungswerte für die Auszahlung übereinstimmen. (4 P)
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Der Erwartungswert für die Auszahlung ist .
Es gibt zwei, aber nicht drei aufeinanderfolgende Werte von , für die die Erwartungswerte für die Auszahlung übereinstimmen.
Zwei aufeinanderfolgende Werte für sind und . Also sollen die Terme und übereinstimmen.
Ansatz:
Umformung: :5
Löse nach auf. Teile durch .
Umformung: :0,9^n
Teile durch .
Löse die Klammer auf.
Umformung: -0,9n
Umformung: :0,1
Für und sollen die Erwartungswerte übereinstimmen.
Überprüfung:
Also stimmen die Erwartungswerte für und überein.
Es gibt zwei, aber nicht drei aufeinanderfolgende Werte von
Die obige Gleichung für hat nur eine einzige Lösung, nämlich . Demnach kann es nur zwei und nicht drei aufeinanderfolgende Werte von geben. Hätte die obige Gleichung hingegen zwei verschiedene Lösungen für , dann gäbe es drei aufeinanderfolgende Werte von .
Zur Probe wird noch der Wert für berechnet.
Der Erwartungswert für stimmt nicht mit den Werten für und überein, da ist.
Also gibt es keine drei aufeinanderfolgende Werte von , für die die Erwartungswerte übereinstimmen.