Abbildung 2 zeigt ein Haus mit einer Dachgaube, deren Vorderseite schematisch in Abbildung 3 dargestellt ist.
Die Vorderseite wird modellhaft durch das Flächenstück beschrieben, das der Graph der Funktion aus Aufgabe 1, die x-Achse und die Geraden mit den Gleichungen und einschließen. Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.
Geben Sie die Breite und die Höhe der Vorderseite der Dachgaube an. In der Vorderseite der Dachgaube befindet sich ein Fenster. Dem Fenster entspricht im Modell das Flächenstück, das der Graph der Funktion mit und geeigneten Elementen mit der x-Achse einschließt (vgl. Abbildung 3). (2 P)
Lösung anzeigen
Die Breite der Gaube reicht von bis , das sind .
Die Höhe ist durch gegeben, also .
Begründen Sie, dass negativ und positiv ist. (2 P)
Lösung anzeigen
- Gegeben:
- Es handelt sich hier um eine Parabel vierten Grades. Wie ist diese Parabel geöffnet? oder
- Wo befindet sich der Scheitelpunkt der Parabel? oberhalb der x-Achse positiv oder unterhalb der x-Achse negativ
Begründe, dass negativ und positiv ist
Gegeben:
Es handelt sich hier um eine nach unten geöffnete Parabel vierten Grades. Daher ist negativ.
Der Scheitelpunkt der Parabel befindet sich oberhalb der x-Achse, daher ist positiv.
Um den Flächeninhalt der Vorderseite der Dachgaube zu ermitteln, wird eine Stammfunktion von betrachtet.
Einer der Graphen I, II und III ist der Graph von . Begründen Sie, dass dies Graph I ist, indem Sie jeweils einen Grund dafür angeben, dass Graph II und Graph III nicht infrage kommen. (2 P)
Lösung anzeigen
Abschätzung der Gaubenfläche
Zeichnet man ein Rechteck in Abb. 3 ein, dass als Grundseite die Länge und als Höhe den y-Wert des Wendepunktes hat, dann ergibt sich als (etwas zu großer) Näherungswert für den Flächeninhalt
Andererseits berechnet sich die Gaubenfläche mit
In allen drei Abbildungen ist
Nach der obigen Abschätzung muss dann sein.
Beim Graphen I liegt F(4) in der Nähe von 5 (etwas darunter), sodass der Graph I die richtige Stammfunktion anzeigt.
Graph II kann es nicht sein, da hier ist.
Graph III kann es auch nicht sein, da die Stammfunktion an der Stelle ein Extremum hat. Dann gilt: . Die Funktion müsste demnach bei eine Nullstelle haben. Das ist aber nicht der Fall.
Bestimmen Sie nun mithilfe des Graphen von aus Aufgabe 2c den Flächeninhalt der gesamten Vorderseite der Dachgaube (einschließlich des Fensters).
Beschreiben Sie unter Einbeziehung dieses Flächeninhalts die wesentlichen Schritte eines Lösungswegs, mit dem der Wert von rechnerisch so bestimmt werden könnte, dass bei einer Fensterhöhe von der Teil der Vorderseite der Dachgaube, der in Abbildung 3 schraffiert dargestellt ist, den Flächeninhalt hat. (5 P)
Lösung anzeigen
Gaubenfläche
Liest man aus der Abbildung des Graphen I den Wert von mit etwa ab, dann ergibt sich die gesamte Gaubenfläche zu:
Mit und folgt dann:
Die Gaube hat einen Flächeninhalt von etwa .
Wesentliche Schritte eines Lösungswegs zur Bestimmung des Parameters a
1. Die schraffierte Fläche soll den Flächeninhalt haben.
Die gesamte Gaubenfläche beträgt etwa .
Die Fensterfläche beträgt dann:
2. Die Fensterhöhe soll betragen, sodass die Funktion lautet.
3. Zur Flächenberechnung des Fensters ist noch die Berechnung der Nullstellen der Funktion erforderlich. Setze und berechne in Abhängigkeit von .
4. Wähle die rechts liegende Nullstelle und berechne die Fensterfläche:
Die Berechnung der Gleichung unter 4. führt zu dem gesuchten Wert für den Parameter .
Um einen Näherungswert für die Länge der oberen Profillinie der Vorderseite der Dachgaube berechnen zu können, wird im Bereich durch vier Kreisbögen angenähert, die nahtlos ineinander übergehen und zueinander kongruent sind. Einer dieser Kreisbögen erstreckt sich im Bereich und ist Teil des Kreises mit dem Mittelpunkt und Radius . Berechnen Sie den Mittelpunktswinkel des zu diesem Kreisbogen gehörenden Kreissektors und ermitteln Sie damit den gesuchten Näherungswert. (5 P)
Lösung anzeigen
Mittelpunktswinkel des zu dem Kreisbogen gehörenden Kreissektors
Ein Kreisbogen erstreckt sich im Bereich und ist Teil des Kreises mit dem Mittelpunkt und Radius .
Der entsprechende Kreissektor ist in der Abbildung braun gefärbt. Zu diesem Kreissektor ist der Mittelpunktswinkel gesucht (in der Abbildung genannt).
Zur Berechnung dieses Winkels wird das rechtwinklige grüne Dreieck mit dem Winkel betrachtet. Die Hypotenuse dieses Dreiecks ist der Kreisradius und eine Kathete hat die Länge , sodass sich der Winkel berechnen lässt.
Gesucht ist aber der Winkel :
Der Mittelpunktswinkel des zu diesem Kreisbogen gehörenden Kreissektors beträgt .
Näherungswert für die Länge der oberen Profillinie
Es muss die Kreisbogenlänge mit der Formel berechnet werden.
Setze und ein.
Der Näherungswert für die Länge der oberen Profillinie ist dann:
Die Länge der oberen Profillinie beträgt etwa .