In einen leeren Behälter werden 3 Kugeln gelegt. Dabei wird die Farbe jeder Kugel durch Werfen eines Würfels festgelegt, dessen Seiten mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind. Wird die "1" oder die "2" erzielt, wird eine gelbe Kugel gewählt, sonst eine schwarze.
Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich nun mindestens zwei schwarze Kugeln im Behälter befinden, beträgt. (2 P)
Lösung anzeigen
Wahrscheinlichkeit für die Kugeln im Behälter:
Wird die "1" oder die "2" erzielt, wird eine gelbe Kugel gewählt
Bei den Zahlen "4" bis "6" wird eine schwarze Kugel gewählt:
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei schwarze Kugeln
Lösungsweg 1
Dabei ist:
Für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten gilt:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens zwei schwarze Kugeln im Behälter befinden, beträgt .
Lösungsweg 2 (falls man einen Taschenrechner benutzen darf oder möchte)
Lies den Wert von im Tafelwerk ab, oder berechne den Wert mit dem Taschenrechner und der Formel .
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens zwei schwarze Kugeln im Behälter befinden, beträgt .
Aus dem Behälter werden zwei der drei Kugeln zufällig entnommen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide entnommenen Kugeln schwarz sind. (3 P)
Lösung anzeigen
Wahrscheinlichkeit, dass beide entnommenen Kugeln schwarz sind
Fallunterscheidung
1. Fall
Im Behälter befinden sich schwarze Kugeln und es werden zwei Kugeln gezogen.
Wenn schwarze Kugeln im Behälter sind, dann wird mit einer Wahrscheinlichkeit von eine schwarze Kugel gezogen und ebenfalls mit der Wahrscheinlichkeit eine weitere schwarze Kugel gezogen.
2. Fall
Im Behälter befinden sich schwarze Kugeln und es werden zwei Kugeln gezogen.
Wenn schwarze Kugeln im Behälter sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel zu ziehen gleich und eine weitere schwarze zu ziehen gleich .
Für die Wahrscheinlichkeit
gilt dann: .