Abbildung 2 zeigt den Graphen der in definierten Funktion , dessen einzige Extrempunkte und sind, sowie den Punkt .
Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen, der in
definierten Funktion mit an. (2 P)
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Koordinaten des Tiefpunkts von h(x)
Die Funktion geht im ersten Schritt durch Spiegelung von an der x-Achse hervor. Im zweiten Schritt wird dann um nach rechts verschoben.
Der Graph der Funktion hat einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt . Bei der Spiegelung an der x-Achse wird aus dem Hochpunkt ein Tiefpunkt (und aus dem Tiefpunkt wird ein Hochpunkt). Der Graph der gespiegelten Funktion hat dann den Tiefpunkt . Damit die Funktion entsteht, muss die gespiegelte Funktion noch um Einheiten nach rechts verschoben werden, sodass der Tiefpunkt der Funktion entsteht.
Der Tiefpunkt hat also die Koordinaten:
Der Graph einer Stammfunktion von verläuft durch . Skizzieren Sie diesen Graphen in Abbildung 2. (3 P)
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Besondere Punkte des Graphen von
Die Stammfunktion von ist die Funktion . Es gilt:
Anhand von ein paar besonderen Punkten von folgen diese Informationen:
- Die Extrempunkte des Graphens der Funktion sind Wendepunkte des Graphens der Stammfunktion .
- Doppelte Nullstellen des Graphens der Funktion sind Terrassenstellen des Graphens der Stammfunktion .
Konkret heißt das:
- Der Graph von hat bei eine Wendestelle. Die Steigung im Wendepunkt des Graphens von beträgt , da an der Stelle den Funktionswert hat. Der Funktionswert ist dann der Wert von .
- Der Graph von hat bei eine Terrassenstelle, da der Graph von bei eine doppelte Nullstelle hat. Die Steigung im Terrassenpunkt ist .
Wie findet man nun Funktionswerte der Stammfunktion ?
Eine Flächeneinheit in der Abbildung 2 des Graphens besteht aus Kästchen, d.h. ein Kästchen hat einen Flächeninhalt von
Der türkis eingefärbte Bereich zwischen und zwischen dem Graphen von und der x-Achse ist etwa Kästchen groß:
Somit vergrößert sich der Flächeninhalt zwischen und um
Im gegebenen Punkt der Abb. 2 gilt:
Der gelb eingefärbte Bereich zwischen und zwischen dem Graphen von und der x-Achse ist etwa Kästchen groß:
Somit vergrößert sich der Flächeninhalt zwischen und zwischen dem Graphen von und der x-Achse um etwa
Im Punkt ist
Zusatz
Entsprechend findet man weitere Punkte des Graphens von , sodass sich nach dem Verbinden der eingezeichneten Punkte der Graph der Stammfunktion ergibt. (Die Berechnung der Koordinaten der anderen eingezeichneten Punkte wird hier nicht weiter ausgeführt.)
Beim Zeichnen ist noch zu beachten, dass die Steigung im Punkt gleich und im Punkt gleich ist.