Aufgabengruppe
Eine in definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion mit erster Ableitungsfunktion und zweiter Ableitungsfunktion hat folgende Eigenschaften:
- hat bei eine Nullstelle
- Es gilt und
- hat ein lokales Minimum an der Stelle
Die Abbildung 1 zeigt die Postion von , , und
Aufgabe 1
Begründen Sie, dass der Grad von mindestens ist. (2 P)
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Lösung
Voraussetzung
WendepunktStrategie
Schritte
Der Grad von ist mindestens
hat ein lokales Minimum an der Stelle .
Bei liegt somit ein Wendepunkt vor:
Es ist und da bei ein lokales Minimum vorliegt, ist
(mit einem Vorzeichenwechsel von bei ).
Die Funktion hat also einen Wendepunkt und die Gleichung hat mindestens eine Lösung. muss also mindestens den Grad haben.
hat mindestens den Grad
Aufgabe 2
Skizzieren Sie in Abbildung einen möglichen Graphen von (3 P)
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Lösung
Voraussetzung
Graph einer FunktionStrategie
Schritte
Der Graph der Funktion könnte z.B. so aussehen.
Hier ist , und
