Um das Monotonieverhalten (steigend/fallend) und das Krümmungsverhalten (links- oder rechtsgekrümmt) zu untersuchen, kannst du ähnliche Methoden verwenden.
In dieser Aufgabe sollst du dir Gedanken über die Gemeinsamkeiten und Unterschiede machen.
Egal, ob du später eine Skizze oder eine Tabelle anfertigen wirst (oder sogar mit einer höheren Ableitung arbeiten wirst), zunächst musst du Vorarbeit leisten.
Vergleiche, wie du die Kandidaten für Extrem- und Wendestellen bekommst.
Lösung anzeigen
- Das Monotonieverhalten wird mithilfe der 1. Ableitung beschrieben
- Das Krümmungsverhalten wird mithilfe der 2. Ableitung beschrieben.
Die Nullstellen der beiden Ableitungen liefern die einzigen Kandidaten für die besonderen Graphenpunkte Hochpunkt, Tiefpunkt, Terrassenpunkt und Wendepunkt.
Monotonieverhalten
Um die Kandidaten für Extremstellen zu bekommen, musst du:
- die 1. Ableitung bilden
- die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen
Krümmungsverhalten
Um die Kandidaten für Wendestellen zu bekommen, musst du:
- die 2. Ableitung bilden
- die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen
Vergleich
Die Gemeinsamkeit: Man leitet ab und man berechnet Nullstellen.
Der Unterschied: Es muss einmal die 1. Ableitung und einmal die 2. Ableitung nullgesetzt werden.
Du untersuchst das Monotonie- und Krümmungsverhalten mithilfe einer Skizze. Wodurch unterscheiden sich die Skizzen zur Monotonie und zur Krümmung?
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Nachdem du die Nullstellen der 1. Ableitung (Kandidaten für Extremstellen) und der 2. Ableitung (Kandidaten für Wendestellen) bestimmt hast, weißt du, wo die jeweiligen Ableitungsfunktionen ihr Vorzeichen ändern.
- Das Vorzeichen von in einem Intervall gibt an, ob dort steigt ( oder fällt .
- Das Vorzeichen von in einem Intervall gibt an, ob dort links- oder rechtsgekrümmt ist.
Monotonieverhalten über Skizze von
Du hast zuvor die Nullstellen von mit ihren Vielfachheiten berechnet. Gemeinsam mit dem Grad und Leitkoeffizient von kannst du den Graphen der Ableitung skizzieren.
- Ist der Graph der Ableitung oberhalb der x-Achse, so ist und der Graph der Ausgangsfunktion steigt streng monoton.
- Analog: ist der Graph der Ableitungsfunktion unterhalb der x-Achse, so ist und der Graph der Ausgangsfunktion fällt streng monoton.
- Wechselt der Graph von an einer seiner Nullstellen das Vorzeichen, so hat der Graph dort eine Extremstelle (Hochpunkt bei sms zu smf, Tiefpunkt bei smf zu sms).
- Wechselt der Graph von an einer Nullstelle das Vorzeichen nicht (die Nullstelle von hat eine gerade Vielfachheit), so hat dort einen Terrassenpunkt.
Krümmungsverhalten
Du hast zuvor die Nullstellen von mit ihren Vielfachheiten berechnet. Gemeinsam mit dem Grad und Leitkoeffizient von kannst du den Graphen der 2. Ableitung skizzieren.
- Ist der Graph der 2. Ableitung oberhalb der x-Achse, so ist und der Graph der Ausgangsfunktion ist dort linksgekrümmt.
- Analog: ist der Graph der Ableitungsfunktion unterhalb der x-Achse, so ist und der Graph der Ausgangsfunktion ist dort rechtsgekrümmt.
- Wechselt der Graph von an einer seiner Nullstellen das Vorzeichen, so hat der Graph dort einen Wendepunkt.
- Wechselt der Graph von an einer Nullstelle das Vorzeichen nicht (die Nullstelle von hat eine gerade Vielfachheit), so hat dort keinen Wendepunkt!
Vergleich
Der wichtigste Unterschied ist natürlich, dass einmal die 1. Ableitung skizziert werden soll und einmal die 2. Ableitung
Gemeinsamkeiten:
- Bei beiden wird mithilfe von Nullstellen mit Vielfachheit, Grad und Leitkoeffizient die jeweilige Ableitungsfunktion skizziert.
- Bei beiden interessiert lediglich das Vorzeichen der jeweiligen Ableitung in einem Bereich ("oberhalb oder unterhalb der x-Achse")
- Bei beiden muss darauf geachtet werden, ob an der Nullstelle ein Vorzeichenwechsel auftritt oder nicht. Falls dem nicht so ist, liegt dort kein Extrempunkt bzw. Wendepunkt von .
Unterschiede:
- Wie oben bereits erwähnt, wird einmal und einmal skizziert.
- Es gibt unterschiedliche Arten von Extrempunkten, deshalb ist bei der Skizze von je nach Aufgabe wichtig, von wo nach wo das Vorzeichen wechselt (Art der Extremstelle: Hoch- oder Tiefpunkt). Das ist bei den Wendepunkten egal.
Statt mit einer Skizze kannst du das Monotonie- und Krümmungsverhalten auch mithilfe von Tabellen untersuchen. Wodurch unterscheiden sich die Monotonietabelle und die Krümmungstabelle voneinander?
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Nachdem du die Nullstellen der 1. Ableitung (Kandidaten für Extremstellen) und der 2. Ableitung (Kandidaten für Wendestellen) bestimmt hast, weißt du, wo die jeweiligen Ableitungsfunktionen ihr Vorzeichen ändern.
- Das Vorzeichen von in einem Intervall gibt an, ob dort steigt ( oder fällt .
- Das Vorzeichen von in einem Intervall gibt an, ob dort links- oder rechtsgekrümmt ist.
Beispiel Monotonietabelle
Eine Monotonietabelle kann z.B. wie folgt aussehen:
x< | -3 | <x< | 2 | <x< | 5 | <x | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
Vorzeichen | - | 0 | + | 0 | + | 0 | - |
Verlauf | smf | TIP | sms | TEP | sms | HOP | smf |
Wobei zur Unterteilung der Spalten die Nullstellen der 1. Ableitung verwendet werden.
Beispiel Krümmungstabelle
Eine Krümmungstabelle kann zum Beispiel so aussehen:
x< | -2 | <x< | 2 | <x | |
|---|---|---|---|---|---|
Vorzeichen | - | 0 | + | 0 | + |
Verlauf | rgk | WEP | lgk | ------ | lgk |
Wobei zur Unterteilung der Spalten die Nullstellen der 2. Ableitung verwendet wurden.
Vergleich
- Beide Tabellen haben drei Zeilen.
- Bei beiden Tabellen wird in der ersten Zeile die x-Achse in mehrere Bereiche unterteilt. Allerdings wird sie einmal bei den Nullstellen der 1. Ableitung und einmal bei denen der 2. Ableitung "zerschnitten".
- Bei beiden Tabellen kannst du unter die 2. Zeile unter die gefundenen Nullstellen eine 0 schreiben, denn dort ist bzw. .
- In der zweiten Zeile geht es bei beiden Tabellen um das Vorzeichen in einem Bereich, jedoch erneut einmal um das der 1. Ableitung, einmal um das der 2. Ableitung.
- In der 3. Zeile sind bei beiden Tabellen die Informationen über . Diese unterscheiden sich jedoch am stärksten. In der Monotonietabelle werden die Kürzel eingetragen, in die Krümmungstabelle und .